Глава VI. Обобщенная, или математическая, логика § 1. Логика как наука о типах порядка

В предыдущих главах мы видели, что обоснованность доказательства зависит не от истинности или ложности посылок, а от их формы, или структуры. В качестве фундаментальной задачи логики мы признали изучение этих объективных отношений между суждениями, которые являются условиями обоснованности умозаключения, с помощью которого мы переходим от посылок к заключениям.

Иногда логика определяется как нормативная наука, исследующая нормы, отличающие правильное мышление от неправильного. На данном этапе читатель уже достаточно подготовлен, чтобы оценить данное определение и признать подобное описание логики неадекватным. Изучение логики направлено на открытие структуры суждений и их объективных отношений друг к другу. Способность подобных структур служить нормами мышления не является их исключительной функцией, какой бы важной она ни была. Слишком большой акцент на нормативной способности данных структур может привести к пренебрежению их ключевыми свойствами и предпочтению тех, которые напрямую связаны с нормативным мышлением. В традиционной логике делался именно такой акцент, что привело к ее неспособности исследовать логические формы в достаточно общем виде, а также к исключению из сферы рассмотрения всех возможных формальных структур.

До недавнего времени повсеместно считалось, что Аристотель раз и навсегда исследовал все предметное поле логики. Кант, к примеру, относительно логики писал следующее: «…со времени Аристотеля ей не приходилось делать ни шага назад, если не считать улучшением устранение некоторых ненужных тонкостей и более ясное изложение, относящиеся скорее к изящности, нежели к достоверности науки. Примечательно в ней также и то, что она до сих пор не могла сделать ни шага вперед, и, судя по всему, она кажется наукой вполне законченной и завершенной» [35] .

Однако если читатель обратится к некоторым из рассмотренных нами примеров математического мышления, то вскоре обнаружит, что традиционная логика не соответствовала той цели, которую сама для себя провозгласила. В этих примерах приведены виды умозаключений, которые не могут без крайней искусственности и несостоятельности анализа быть сведенными к каким-либо традиционным формам. Так, импликации, подобные следующей: «Если А выше, чем В, и В выше, чем С, то А выше, чем С», не подпадают ни под один из типов, рассматриваемых в традиционной логике. С позиции логики как органона для установления и проверки умозаключений в традиционной логике не подвергались систематическому изучению логические отношения, составляющие фундамент сложных умозаключений в математических и естественных науках.

Однако в одном смысле кантовская оценка традиционной логики справедлива. В традиционной логике были успешно проанализированы определенные виды умозаключений, а также были проявлены формальные факторы, от которых зависела их обоснованность. Большая часть достижений традиционной логики имеет непреходящую ценность. Ее основные недостатки сводятся не к тому, что было сделано в ее рамках, а к тому, что сделано не было. Так, в традиционной логике была открыта субъектно-предикатная форма суждений, однако не было отмечено то, что эта единая грамматическая конструкция могла заключать суждения совершенно разных типов. В традиционной логике подчеркивалась необходимость связки, но упускались логические свойства этой самой связки, от которых зависела обоснованность умозаключения. Вследствие этого традиционной логике не удалось выработать более общую теорию вывода и более успешное исчисление мышления, чем силлогизм. Теория сложных суждений в ней не учитывалась, а важная тема экзистенциальной нагруженности суждений не была рассмотрена в явной форме. Наконец, в традиционной логике не были подвергнуты систематическому изучению логические принципы, и, как следствие, не был выработан метод получения всех возможных суждений, которые можно было бы логически обоснованно утверждать.

Эти ограничения одновременно указывают и на то, что должна включать в себя программа изучения логики, опирающаяся на более адекватное понимание своего предмета. Неудовлетворенность ограниченным содержанием древней логики сама по себе не является современной в полной мере. Так, логики Пор-Рояля исследовали некоторые виды несиллогистического вывода, такие как «Солнце является неощутимым телом; персы поклоняются Солнцу; следовательно, персы поклоняются неощутимому телу». Однако они не представили систематического учения о подобных умозаключениях.

Границы более общего логического учения в ясной форме были очерчены Лейбницем. В «Новых опытах о человеческом разумении» (1704) он рассмотрел различные виды несиллогистического вывода и предложил проект «универсальной математики», которая должна была стать инструментом исследования области любого порядка. В других своих работах Лейбниц описал основные свойства этой дисциплины. С одной стороны, следовало создать «универсальный язык» или «универсальные характеристики», с тем чтобы иметь возможность выражать посредством специально созданных символов фундаментальные, неразделимые понятия всех наук («алфавит человеческой мысли») [36] . Способы сочетания этих символов должны быть заданы явно, и тогда с помощью них можно было бы заново провозгласить все науки, с тем чтобы явно продемонстрировать логическую структуру их предметного поля. С другой стороны, следовало создать «универсальное исчисление», которое стало бы инструментом оперирования на системе идей, выраженных в символической форме универсальных характеристик. Тогда можно было бы систематически открывать отношения между суждениями, а полученный метод позволил бы сократить мысленные и физические усилия при рациональном исследовании любого предметного поля. Эти идеи Лейбница получили некоторое развитие лишь в последнее время в трудах математиков и философов. Однако его собственный вклад в данный проект был фрагментарным и оказывал незначительное влияние на историю логических исследований до тех пор, пока его идеи не были открыты независимо другими исследователями.

Возрождение в сфере логических исследований пришлось на первую половину XIX века и было практически полностью связано с именами двух английских математиков: Огастеса де Моргана и Джорджа Буля. Размышления над процессами, наблюдаемыми в области математики, убедили их в том, что возможно было получить гораздо большее количество обоснованных умозаключений, чем имелось на тот момент. Основным вкладом де Моргана явилось заложение основ теории отношений. Открытие Буля заключалось в том, что логические процессы можно было сделать более обобщенными и ускоренными, если правильно оговорить конвенции относительно используемых символов. Его книга «Исследование законов мысли» (1854, данное название не соответствует оригинальному) заложила целую эпоху в истории логики. В ней с неоспоримым успехом было показано, что математические методы применимы не только в исследовании количеств, но и относительно любой упорядоченной области и, в особенности, к отношениям между классами и между суждениями. Постепенно понимание логики как исследования типов упорядочивания вошло в сознание людей. Со времен Буля тесная связь между логикой и математикой была продемонстрирована такими математиками, как Вейерштрасс, Дедекинд, Кантор, Пеано, и такими философами, как Пирс, Фреге, Рассел и Уайтхед.