Приложение [120] Примеры доказательства § 1. Что устанавливает доказательство?

Согласно вековому сказанию, Герон, тиран Сиракуз, приказал разместить корону, сделанную из чистого золота, в храме бессмертных богов. Однако слухи заставили его заподозрить, что ювелир подмешал в нее серебро, и поэтому он обратился к Архимеду с просьбой определить, так ли это, не причинив при этом короне никаких повреждений. Принимая ванну, Архимед обратил внимание на то, что его конечности в воде казались необычно легкими и что при погружении в ванну из нее выплескивался объем воды, пропорциональный объему его тела. Способ решить поставленную задачу тотчас же стал для Архимеда очевиден, и, с восторгом выпрыгнув из ванны, он, не одевшись, побежал домой, выкрикивая на ходу: «Эврика! Эврика!».

Читатель, видимо, знает, что решение задачи зависит от суждения «твердое тело, более плотное, чем вода, будучи в нее погруженным, утратит в весе столько же, сколько весила вытесненная вода». Но как именно можем мы (или как мог Архимед) доказать истинность этого ключевого суждения? Случай с ванной не может рассматриваться в качестве окончательного основания для истинности суждения, даже если в результате него Архимед пришел к утверждению этого суждения.

С какой стороны подступиться к этому доказательству? Если читатель является современным и эмпирически ориентированным человеком, то ему может показаться, что для достижения поставленной задачи необходимо только провести несколько точных измерений веса тел в воде и без воды, подвесив их к пружинным весам. Однако Архимед был слишком мудрым ученым и хорошо знал требования доказательства, чтобы сделать нечто подобное. Во-первых, подтверждение суждения посредством измерения всегда будет лишь приблизительным. Ни одно из двух измерений не укажет в точности на одну и ту же потерю в весе и не укажет, что потеря веса в точности равна весу вытесненной воды. Во-вторых, никакое число измерений не сможет показать, что данное суждение будет истинным для всех возможных случаев, т. е. для тех случаев, которые имели место в прошлом и всех тех случаев, когда тело будет падать в воду в будущем. Как можно, имея свидетельства частных измерений, быть уверенным в том, что если твердое тело больше определенного размера или если количество воды увеличено в достаточной мере, то отношение, утверждаемое в указанном суждении, все равно будет иметь место? Читатель согласится, что метод экспериментального подтверждения не может гарантировать невозможности исключений.

Так как же в таком случае Архимеду удалось доказать данное суждение? К счастью, доказательство, которое он посчитал адекватным, присутствует в сохранившихся отрывках его трактата «О плавающих телах». На протяжении веков данное доказательство служило моделью того, каким должно быть доказательство. Также оно смогло вдохновить таких людей, как Кеплер и Галилей. Доказательство состоит из проявления необходимых отношений между природой, или определением, жидкостей и природой поведения твердых тел, погруженных в жидкости. Рассмотрим его более детально, чтобы открыть для себя важнейшие свойства дедуктивного рассуждения.

Архимед начинает свой трактат с постулата, или допущения, с помощью которого определяется природа жидкостей. Затем он доказывает шесть суждений посредством данного постулата и геометрических теорем, которые были ранее доказаны в соответствующих трактатах по данному предмету. Однако для того чтобы доказать седьмое суждение, нужен только исходный постулат и два предшествующих суждения. Мы просто их приведем, а затем повторим доказательство седьмой теоремы. (Здесь мы не будем использовать кавычки и в некоторых местах внесем нужные сокращения.)

Сам постулат выглядит так: допустим, что жидкость имеет такую природу, что во всех одинаковых и непрерывных положениях ее частей то количество (portion), которое претерпевает наименьшее давление, вытесняется тем количеством, которое претерпевает наибольшее давление. И каждая часть жидкости испытывает давление того количества жидкости, которое находится перпендикулярно над ней, если последнее погружается вниз или испытывает давление от другого количества.

Суждение 3. Твердые тела, которые обладают такой же плотностью, что и жидкость, будучи погруженными в нее, не будут плавать на поверхности, но и не потонут.

Суждение 6. Если твердое тело, более легкое, чем жидкость, погрузить в воду, то оно будет вытолкнуто вверх силой, равной разнице между весом тела и весом вытесненной жидкости.

Суждение 7 и его доказательство таковы: твердое тело, более плотное, чем жидкость, при погружении в эту жидкость опустится на дно жидкости; будучи взвешенным в жидкости, твердое тело будет легче своего истинного веса ровно на столько, сколько весила вытесненная им жидкость.

Доказательство. 1. Первая часть суждения очевидна, поскольку часть жидкости, находящаяся непосредственно под твердым телом, будет испытывать большее давление, чем части жидкости, находящиеся под этой частью; и, следовательно, эти другие части будут поддаваться до тех пор, пока твердое тело не достигнет дна.

2. Пусть А будет твердым телом, более тяжелым, чем такой же объем жидкости, и пусть (G + Н) представляют его вес так, что G представляет вес такого же объема жидкости.

Возьмем твердое тело В, более легкое, чем такой же объем жидкости, и такое, что вес В равен G, тогда как вес такого же объема жидкости равен (G + Н). (Иными словами, В следует выбрать таким образом, чтобы его объем равнялся такому объему жидкости, который будет равен по весу телу А.)

Пусть далее А и В будут совмещены в единое твердое тело и погружены в жидкость. Тогда поскольку (А + В) будет иметь такой же вес, как и такой же объем жидкости, а оба веса будут равны (G + Н) + G, то из этого следует, что (А + В) в жидкости останется неподвижным.

Следовательно, сила, которая заставляет А тонуть, должна быть равной силе, выталкивающей В вверх. Эта последняя равна разнице между (G + Н) и G. Поэтому А вдавливается силой, равной Н, т. е. его вес в жидкости равен Н или разнице между (G + Н) и G.

Читателю следует изучить данное доказательство тщательно и неоднократно. После этого он может задуматься над следующими вопросами:

1. В каком смысле данное «доказательство» доказывает суждение, если допустить, что оно является окончательным?

2. Является ли доказательство окончательным?

3. От каких факторов или аспектов предметной области зависит окончательный характер доказательства?

Данные вопросы должны быть рассмотрены непосредственным образом, если мы хотим избежать путаницы в отношении философии доказательства.

1. Если доказательство является обоснованным, то тогда для всех возможных твердых тел и для всех жидкостей, выполняющих условия, сформулированные в постулате, отношения, описанные в суждении, должны иметь место. В отношении суждений невозможны никакие исключения, и при этом не требуется никакого эмпирического исследования жидкостей для того, чтобы мы могли быть в этом уверены. Данное суждение можно утверждать без опасения столкнуться с противоречием в каком-либо будущем эксперименте, если допускается постулат. Однако это квалификационное «если» является крайне важным. Оно напоминает о том, что мы не доказали материальную истинность данного суждения. Мы не показали, что в любом действительном объеме воды более плотное твердое тело будет тонуть; это будет так, только если вода на самом деле является жидкостью, относительно которой выполняется указанный постулат. Таким образом, мы показали, что если вода является жидкостью, природа которой частично выражена данным постулатом, то дальнейшие отношения, сформулированные в суждении, с необходимостью будут ей присущи. Однако данное доказательство не показывает и не претендует на то, чтобы показывать, что вода на самом деле является жидкостью.

Быть может, Архимед полагал, что применимость данного постулата для всех жидкостей очевидна. Если так, то он, без сомнения, ошибался. Как мы уже отмечали, и как у нас еще не раз будет возможность убедиться, кажущаяся самоочевидность суждения не представляет окончательного основания его истинности. Однако независимо от того, считал он так или нет, истинность или ложность постулата в самом доказательстве не играет никакой роли. Повторим, что приведенное выше доказательство не доказывает материальной истинности суждения. Вопрос о том, какой тип оснований требуется для материальной истинности суждения, рассмотрен в главах VIII, XI, XIII и XIV. Здесь же нам нужно лишь подчеркнуть, что единственное, что окончательное доказательство может доказывать, это лишь существование необходимой связи между определяющими свойствами жидкостей и твердых тел и прочими их свойствами. Доказательство проявляет отношения импликации между суждениями, и ничего более. В доказательстве не дается ответа на вопрос о том, обладает ли какая-либо реальная жидкость свойствами, сформулированными в постулате.

Читатель может также отметить, что объем жидкости и размер погруженного в нее твердого тела не играет никакой роли в доказательстве, поскольку данное суждение следует из допущения относительно жидкостей как таковых, а не из допущений относительно жидкостей и твердых тел определенного объема. Таким образом, суждение может быть доказано, если посылки его имплицируют или, иными словами, если данное суждение является необходимым следствием посылок.

2. Пора переходить к рассмотрению второго вопроса: является ли данное доказательство окончательным? Прежде чем читатель определится с ответом, напомним ему, что доказательство является окончательным, только если суждение является необходимым следствием посылок. Доказательство не является окончательным, если помимо явно сформулированных посылок требуются еще и какие-либо другие посылки. Но как в таком случае мы можем быть уверены в том, что никакие посылки, помимо сформулированных, не требуются для того, чтобы имплицировать суждение? Есть только один способ это узнать. Мы должны разбить приведенное выше доказательство на ряд импликаций, каждая из которых не будет требовать никаких посылок, кроме тех, что сформулированы в явной форме. Проанализируем данное доказательство более детально.

Первая часть доказательства может быть сформулирована следующим образом:

Вторая часть доказательства может быть выражена следующим образом. Для удобства мы обозначим буквами каждый отдельный шаг.

Теперь мы видим, что целое доказательство может быть разложено на несколько разных шагов. Следовательно, доказательство является окончательным, если окончательным является каждый отдельный шаг. Таким образом, мы обнаруживаем, что суждение не может быть доказано, если мы допускаем только постулат. Нам также требуются четыре других допущения относительно суммируемой природы весов, объемов и сил, а также относительно постоянства плотности жидкости. Архимед не сформулировал данные допущения в явном виде, и поэтому предложенное им доказательство не является окончательным. Однако данные допущения имеют столь общую природу, что принимаются как данность практически в любом физическом исследовании. Тем не менее, крайне важно выражать их в явной форме, поскольку без них или их эквивалентов мы не сможем доказать гидростатический принцип Архимеда. Более того, в некоторых областях современной физики были обнаружены основания для сомнения в универсальной истинности некоторых из этих допущений. Подробное перечисление всех посылок или допущений играет крайне важную роль в развитии наук. 3. На данном этапе мы готовы ответить на третий вопрос: от каких факторов или аспектов предметной области зависит окончательный характер доказательства? Мы видели, что доказательство является окончательным, если в нем каждый отдельный шаг является окончательным. Но почему окончательным является каждый шаг? Ответ на этот вопрос мы уже обсудили во вводной главе. Каждый шаг является окончательным потому, что если посылки в этом шаге истинны, то заключение также должно быть истинным, т. е. отношения между посылками и заключением таковы, что невозможно отыскать универсум, в котором посылки данной формы будут истинными, а заключение – ложным.