8.4. Определение оптимального запаса продукции торговой фирмы на основе статистических данных

Пусть Q - рыночный спрос на продукт торговой фирмы для фиксированного периода (день, неделя, месяц). Воспримем это как спрос игрока 1. Этот спрос может быть любым действитель­ным положительным числом. Область состояний W = [0, ¥]. Про­даваемый продукт оценивается, например, в килограммах и мо­жет заказываться в любом количестве. Нереализованный в дан­ном периоде продукт не может быть продан в следующем пери­оде, так как теряет за время хранения свои потребительские качества. Значение QÎW заранее неизвестно.

Введем обозначения: а - запас продукта на некоторый пери­од. Следовательно, считаем, что множество решений фирмы А = [0, ¥]; аÎА - конкретное решение фирмы (игрока 2), при­нимаемое в статистической игре с природой, которая определяет действительный спрос Q на продукт; L(Q, a) - функция потерь. Она является функцией платежей в исходной стратегической игре (W, A, L); k₁ - себестоимость + дополнительные затраты на хра­нение 1 кг продукта, который не был продан в установленное время, так как спрос на него оказался меньше прогнозируемого;

k₂- потеря прибыли на 1 кг продукта, обусловленная отсутстви­ем товара, спрос на который превысил заказанное количество.

Принимая указанные обозначения, запишем кусочно-линей­ную функцию потерь фирмы:

 

Стратегическую игру (W, A, L) можно преобразовать в стати­стическую, если получить дополнительную статистическую ин­формацию о спросе на продукт QÎW. Действительный спрос по периодам представлен заказчиком. Это вектор

который в различные периоды времени представляет разные размеры спроса. Пусть а = d(x) - статистическая нерандомизи­рованная функция решения. Значение функции, определяющей оптимальное решение а об уровне запаса, найдем с помощью байесовской функции решения.

Известна функция действительного спроса на товар, соответ­ствующего статистическому наблюдению, т. е. .

Функцию априорного наблюдения G(Q| ) распределения спро­са (состояний природы) обозначим F(Q).

Имеет место теорема: «Если, решая задачу, поставленную в форме статистической игры, статистик (игрок 2) провел экспе­римент, наблюдая случайную величину Х с функцией условного распределения G(Q| ) или [F(Q)], и получил результат х, то не­случайная байесовская функция решения относительно некото­рого априорного распределения x состояний природы равна а = d(x), где а Î А - решение, минимизирующее ожидаемое зна­чение функции потерь L(Q, а) в условном апостериорном рас­пределении состояний природы, заданном функцией распреде­ления G(Q| x)».

Согласно данной теореме нужно минимизировать математи­ческое ожидание

С использованием формулы (8.1) можно определить матема­тическое ожидание при апостериорном распределении спроса Q:

Минимизируя математическое ожидание функции потерь (8.2) относительно о, получим:

где f(a) - плотность в точке а апостериорного распределения спроса. В соответствии с необходимым условием (8.3) получим урав­нение

откуда

 

Итак, с помощью байесовской функции получено выражение для оптимального запаса. Оно равно числу а₀, удовлетворяюще­му равенству

где F(a₀) -функция апостериорного распределения спроса Q на про­дукт.

Результат (8.4) с учетом (8.5) означает, что для a₀ в распределении спроса Q должно выполняться условие . Значит, a₀ должно быть квантилем порядка апостериорного распределения спроса Q.

Для вычисления оптимального запаса а₀ данного продукта на определенный период времени нужно:

1. Знать параметры k₁ и k₂, входящие в функцию потерь L(Q, a).

2. На основе статистических наблюдений получить апосте­риорное распределение спроса на товар.

3. С помощью функции этого распределения определить квантиль порядка .

Если, в частности, k₁ = k₂, то оптимальный уровень запаса a₀ будет соответствовать равенству F(a₀) = . Другими словами, оп­тимальный уровень запаса представляет собой медиану в апос­териорном распределении спроса Q.

Распределение близко к нормальному N(M, d), где М - мате­матическое ожидание, d - среднее квадратичное отклонение.

Значение a₀ (или квантиль порядка ) можно определить по таблице нормированного нормального распределения.

Иногда распределение не относится ни к одному из извест­ных исследователю законов распределения, тогда с помощью графика функции распределения спроса нужно определить квантиль порядка . Рассмотрим, как это делается на практике.

Пример 8.6. Требуется определить оптимальное значение за­паса товара. Известно: k₁ = 0,8; k₂ = 0,2; распределение спроса Q.

Решение. Представим распределение дневного спроса на товар, полученное по данным наблюдения (табл. 8.11).

Таблица 8.11

Доход, тыс. руб.	Частота	Накопленная частота
0-5	0,03	0,03
5-10	0,07	0,10
10-15	0,10	0,20
15-20	0,20	0,40
20-25	0,25	0,65
25-30	0,25	0,90
. 30-35	0,08	0,98
35-40	0,02	1,00

 

По табл. 8.11 строим график распределения спроса на товар (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Определение квантиля распределения

Рассчитаем квантиль распределения:

По квантилю, равному 0,2 (см. рис. 8.3), определяем a₀ = 12,3 тыс. руб. Это стоимостное выражение искомого оптимального запаса продукции торговой фирмы, равное 12,3 тыс. руб.