Глава 6 статистические игры

6.1. Общие сведения

Создателем теории статистических игр считается А. Вальд. Он показал, что в теории принятия решений статистические игры являются основным подходом, если решение принимается в ус­ловиях частичной неопределенности.

Статистические модели представляют собой игру двух лиц (человека и природы) с использованием человеком дополнитель­ной статистической информации о состояниях природы.

Она существенно отличается от антагонистической игры двух лиц с нулевой суммой, где выигрыш одного равен проигрышу другого.

В статистической игре природа не является разумным игро­ком, который стремится выбрать для себя оптимальные страте­гии. Этот игрок не заинтересован в выигрыше. Другое дело -человек, в данном случае статистик. Он имеет целью выиграть игру с воображаемым противником, т. е. с природой.

Игрок-природа не выбирает оптимальной стратегии, но ста­тистик должен стремиться к определению распределения веро­ятностей состояния природы. Следовательно, основными отли­чиями статистической игры от стратегической являются:

• отсутствие стремления к выигрышу у игрока-природы, т. е. отсутствие антагонистического противника;

• возможность второго игрока - статистика провести статис­тический эксперимент для получения дополнительной информа­ции о стратегиях природы.

Так, например, статистик, работающий в фирме «Одежда», может изучить многолетние данные о погодных условиях в местностях, где одежда будет продаваться, и в зависимости от наи­более вероятного состояния погоды выработать рекомендации, куда и какое количество партий изделий отправлять, где выгод­нее и на каком уровне провести сезонное снижение цен и т. д.

Таким образом, теория статистических решений является теорией проведения статистических наблюдений, обработки этих наблюдений и их использования.

В теории статистических решений основные правила могут быть детерминированными и рандомизированными.

В статистических играх используются понятия: риск (функ­ция риска), потери (функция потерь), решение (функция реше­ния), функции распределения при определенных условиях.

Необходимо пояснить понятие рандомизации. Это статисти­ческая процедура, в которой решение принимается случайным образом. Математическая энциклопедия это определяет более подробно: «Статистическая процедура принятия решения, в ко­торой по наблюденной реализации х случайной величины Х решение принимается с помощью розыгрыша по вероятностно­му закону, называется рандомизацией»*.

* Математическая энциклопедия. Т.4. - М.: Советская энциклопедия, 1984. - С. 865.

 

Введем условные обозначения:

В или W - множество состояний природы;

В. или Q_j - отдельное состояние природы, Q_j Î W;

А — множество действий (решений) статистика;

а - отдельное решение статистика, a Î А;

L - функция потерь. Множества W и А предполагаются чис­ленно определенными, поэтому представляется возможным ус­тановить распределение вероятностей. Если принятое статисти­ком решение a Î А и состояние природы Q Î W, то функция потерь запишется L(Q; a);

D - совокупность всех нерандомизированных (чистых) фун­кций решения;

d( ) - функция решения; - случайный вектор. Характери­стикой функции решения является функция потерь. Статистик может перед принятием одного из возможных решений провести эксперимент, который заключается в наблюдении случайной переменной х. В итоге представляется возможным получить рас­пределение этой случайной переменной в зависимости от состо­яния природы Q;

F(x|Q) - функция условного распределения случайной пере­менной х. Предполагается, что для каждого состояния природы Q известно значение функции F(x|Q);

п - объем выборки;

x_Q — множество всех выборок объема п. После получения ре­зультата эксперимента х статистик использует некоторую функ­цию решения и принимает одно из решений а Î А, когда резуль­тат эксперимента - вектор :

R — функция риска;

R(Q,d) - функция риска, определенная на прямом произведе­нии W´D множества состояний природы и множества решений.

Игра (W, A, L) - исходная стратегическая игра, соответствующая стратегической задаче принятия решения;

G = (W, D, R) - статистическая игра;

s - рандомизированная функция решения;

D* - множество случайных функций решения, s Î D*. Под­разумевается, что D Ì D*, так как чистая функция решения (не­рандомизированная) может быть рассмотрена как смешанная, ко­торая используется с вероятностью, равной 1;

G(Q) - функция априорного распределения состояний при­роды Q;

X - совокупность всех априорных распределений x Î X.