Понятие производной. Основные правила дифференцирования.
Произво́дная (функции в точке) — основноепонятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.
Таблица производных
Производные степенных функций |
Производные тригонометрических функций |
Производные обратных тригонометрических функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правила дифференцирования
Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
[2]
[3]
…(g ≠ 0)
(g ≠ 0)Если функция задана параметрически:
,
то 
Основная статья: Дифференцирование сложной функции
Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования (формула Лейбница):
где 
— биномиальные
коэффициенты.
Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:
если функция дифференцируема на интервале
,
то она непрерывна на интервале
.
Обратное,
вообще говоря, неверно (например,
функция 
на 
);если функция имеет локальный максимум/минимум при значении аргумента, равном
,
то 
(это
так называемая лемма
Ферма);производная данной функции единственна, но у разных функций могут быть одинаковые производные.
Доказательство
■
Производные основных элементарных функций.
Пример 1. Пусть y=f(x)=C (С – произвольная константа). Найдем производную y′ этой функции. То есть найдем производную C′ константы С.
Решение. Его можно получить тремя способами.
а) Способ 1 – геометрический.
Графиком функции y=C является горизонтальная прямая. Касательной к этой прямой, проведенной в любой ее точке, будет она сама. Ее угол наклона α к оси ох равен нулю. Но tg0=0. Значит, y′=C′=0.
б) Способ 2 – физический.
Функция y=C от x не зависит, то есть с изменением x не меняется. А значит, скорость v(x) ее изменения равна нулю. Но ведь скорость изменения функции, согласно (1.7) – это производная функции. Таким образом, если y=C, то y′=C′=0. Физический смысл этого вывода очевиден: если координата y движущейся точки неизменна, то точка стоит. А значит, скорость ее движения равна нулю.
в) Способ 3 – математический.
Воспользуемся математическим определением (1.6) производной функции:
Итак, разными способами получаем один и тот же вывод: если y=C, то y′=C′=0.