24. Множества точек на плоскости.

Определение 1: окрестностью точки  ( ) на плоскости называется круг, с центром в точке  некоторого радиуса  , который не содержит окружности, ограничивающей данный круг.

Окрестность точки  радиуса r обозначаем  ( ,r).  ( ,r) ={ +(

}.

Так как r– произвольное, то каждая точка М на плоскости имеет бесконечно много окрестностей.

Определение 2: Множество Е точек на плоскости называется открытым, если каждая точка множества Е принадлежит Е вместе с некоторой окрестностью.

25. Окружность и её уравнение.

Если координаты центра (а;b), а координаты любой точки окружности (х; у), то уравнение окружности имеет вид:

 

Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.

Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:

Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у, определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

26. Эллипс и его уравнение.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид  , где    – положительные действительные числа, причём  .

Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат.

27. Гипербола и её уравнение.

имеет вид  , где    – положительные действительные числа.  Обратите внимание, что в отличие от эллипса, здесь не накладывается условие  , то есть, значение «а» может быть и меньше значения «бэ».

Гипербола может быть определена, как множество точек, образуемое в результате сечения кругового конусаплоскостью, отсекающей обе части конуса. Другими результатами сечения конуса плоскостью являются парабола,эллипс, а также такие вырожденные случаи, как пересекающиеся и совпадающие прямые и точка, возникающие, когда секущая плоскость проходит через вершину конуса. В частности, пересекающиеся прямые можно считать вырожденной гиперболой, совпадающей со своими асимптотами.

28. Парабола и её уравнение.

     Пусть на плоскости заданы точка F и прямая  , не проходящая через F. Парабола - множество всех тех точек M плоскости, каждая из которых равноудалена от точки F и прямой  . Точка F называется фокусом, прямая   - директрисой параболы; (OF) - ось, O - вершина,   - параметр,   - фокус,   - фокальный радиус.

     Каноническое уравнение: 

     Эксцентриситет: 

     Фокальный радиус: 

     Уравнение директрисы: 

     Уравнение касательной в точке 

     Свойство касательной к параболе:   (М - точка касания; N - точка пересечения касательной с осью Ox).

     Уравнение нормали в точке 

     Уравнение диаметра, сопряженного хордам с угловым коэффициентом k: y = p/k.

     Параметрические уравнения параболы: 

     Полярное уравнение: