29. Предел числовой последовательности.

30. Предел функции на бесконечности и его свойства.

Рассмотрим функцию  , заданную на  .

Определение

Число   называется пределом функции   на бесконечности или при  , если для любого   существует число   такое, что для всех   из того, что  , выполняется неравенство  .

Бесконечно большая функция

Определение

Функция   называется бесконечно большой в точке  , если для любого   существует такое , что для любого  , удовлетворяющего неравенству  , выполняется неравенство:  . В этом случае пишут: 

Пример

Бесконечно большой функцией в точке 0 является функция 

Определение

Функция   называется бесконечно большой при  , если для любого   существует такое число   такое, что для всех   из области определения функции  , которые удовлетворяют неравенству  , выполняется неравенство  : 

Пример

Функция   является бесконечно большой функцией при  .

31. Предел функции на точке и его свойства.

Если функция f заданная на множестве Х имеет конечный предел в точке х₀, тогда найдется окрестность U этой точки, такая, что функция f будет ограничена на пересечении U и Х.

Если функция f заданная на множестве Х имеет конечный и не равный 0 предел а в точке х₀, тогда найдется окрестность U этой точки и положительное число c, такие, что при a > 0 на пересечении верно f(x) > c ; а при a < 0 на пересечении U и Х верно f(x) < – c.

Если f(x) = C для всех x, тогда предел этой функции равен C. Если f(x)  C для всех x, тогда предел этой функции больше или равен C.

Если g(x)  f(x)  h(x) и пределы функций g и <h в точке х₀ равны между собой и равны a, то предел f(x) в этой точке также равен a.

Если у функцийg(x) и f(x) существуют пределы, равные a и b соответственно, тогда выполняются следующие арифметические свойства пределов :

Именуемые пределом линейной комбинации (суммы), пределом произведения и пределом отношения.

Для вычисления предела суперпозиции функций g(f(x)) нужно вычислить предел   , а затем нужно вычислить предел g(x) при условии, что x  a.

32. Первый замечательный предел.

Рассмотрим следующий предел:   (вместо родной буквы «хэ» я буду использовать греческую букву «альфа», это удобнее с точки зрения подачи материала).

Согласно нашему правилу нахождения пределов (см. статью Пределы. Примеры решений) пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида  , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:

 

Данный математический факт носит название Первого замечательного предела. Аналитическое доказательство предела приводить не буду, а вот его геометрический смысл рассмотрим на уроке о бесконечно малых функциях.

Нередко в практических  заданиях функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет:  – тот же самый первый замечательный предел.