6. Матричное решение систем линейных уравнений.

В этой статье поговорим о матричном методе решения систем линейных алгебраических уравнений вида  , которые в матричной форме записываются как  , где   - основная матрица системы,   - матрица-столбец неизвестных переменных,   - матрица свободных членов.

7. Понятие комплексных чисел и их геометрическая интерпретация.

X называют вещественной или действительной частью числа z и обозначают так:  ; y называют мнимой частью числа z и обозначают так:  . Число   называют комплексно сопряженным числу z. Действует следующее общее правило: «чтобы получить число, комплексно сопряженное данному, надо в нем заменить i на –i ».

Рассмотрим операции над комплексными числами в алгебраической форме. Пусть даны два комплексных числа   и  .

Равенство и сравнение комплексных чисел.

Два комплексных числа считаются равными, если у них равны вещественные и мнимые части:

.

Но вот операции типа «больше» и «меньше» для комплексных чисел не имеют смысла, то есть бессмысленно писать   или  . Совершенно непонятно, что больше   или  . Комплексные числа не упорядочены.

Сложение и вычитание. Сложение и вычитание двух комплексных чисел определяются совершенно естественно

,

то есть надо сложить (или вычесть) отдельно вещественные и мнимые части чисел.

Умножение. Умножение двух комплексных чисел производится как умножение обычных чисел, надо лишь помнить, что  :

.

Деление. Для деления комплексных чисел полезно запомнить следующее правило: чтобы разделить два комплексных числа друг на друга надо числитель и знаменатель умножить на число, комплексно сопряженное знаменателю. Тогда легко получить, что

8. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

Свойство сложени: Сумма двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число вида z=z1+z2= a+bi + c+di = a+c +(b+d)i 

Пример:  5+3i + 3−i =8+2i 

Свойство вычитания: Разность двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число вида z=z1−z2= a+bi − c+di = a−c +(b−d)i 

Пример: .  5+3i − 3−i =2+4i 

Свойство умножения: Произведение двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число вида z=z1 z2= a+bi c+di = ac−bd +(ad+bc)i 

Пример:  3+2i 4−i =12−3i+8i−2i2=14+5i 

Свойство деления: Частное двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число вида z=z2z1=c+dia+bi=c2+d2ac+bd+c2+d2bc−adi

9. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.

Запись комплексного числа z = a + bi в виде z=r cos +isin   называется тригонометрической формой комплексного числа. Модуль комплексного числа: r= a2+b2  Аргумент комплексного числа:cos =ra sin =rb

Свойство умножения: Произведение двух комплексных чисел z1=r1 cos 1+isin 1   и z2=r2 cos 2+isin 2   будет комплексное число вида z1 z2=r1 r2 cos( 1+ 2)+isin( 1+ 2)  

Свойство деления: Частное двух комплексных чисел z1=r1 cos 1+isin 1   и z2=r2 cos 2+isin 2  будет комплексное число вида z2z1=r2r1 cos( 1− 2)+isin( 1− 2)  

Свойство возведение в степень: Степень комплексного числа z=r cos +isin   будет комплексное число вида  r cos +isin n=rn cosn +isinn  

Свойство извлечения корня: Корень из комплексного числа z=r cos +isin   будет комплексное число вида  nr cos +isin = nr cosn +2 k+isinn +2 k k=0;1;2; ;n−1 

Формула Муавра :  cos +isin n=cosn +isinn