51. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

или

Пусть   — функции, дифференцируемые на некотором промежутке  . Тогда, как известно, дифференциал произведения этих функций вычисляется по формуле

Взяв неопределенный интеграл от обеих частей этого равенства, получим:

 Так как  , а  ,

то получаем:  , откуда  .

Поскольку   уже содержит произвольную постоянную, в правой части полученного равенства   можно опустить и записать равенство в виде

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям.

52. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Интегрирование простейших дробей I и II типов не представляет никакого труда. В самом деле:

Перейдем теперь к интегрированию рациональных дробей III и IV типов.

Рассмотрим отдельно знаменатель   и дополним   до полного квадрата:

Так как по условию трехчлен   не имеет действительных корней, то выражение  . Введем обозначение  Применим теперь к интегралу замену переменной, положив  . Отсюда

Следовательно,

Заменяя, наконец,   их выражениями, получим

53. Интегрирование некоторых видов иррациональностей.

Рассмотрим интеграл вида

   (28) Чтобы проинтегрировать любой интеграл такого вида, необходимо уметь находить интегралы

и

Первый из них приведём к табличному интегралу (15) с помощью замены переменной

(тогда  ):

Возвращаясь к первоначальной переменной, получим

     (29)

Второй интеграл приведём к табличному, если произведём замену переменной

(эта подстановка называется подстановкой Эйлера).

Тогда

Числитель полученного выражения есть t .

Следовательно, откуда .

Таким образом,

Возвращаясь к старой переменной, окончательно найдём

             (30)

Формулы (29 и (30) также можно условно считать табличными интегралами. Если в подкоренном выражении интеграла (28) выделить полный квадрат, то при a > 0 это выражение примет вид

а при a < 0 – вид

После подстановки t = x – m в первом случае интеграл (28) приводится к интегралу (30), во втором – к интегралу (29).

54. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона-Лейбница.

55. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной.

56. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

57. Физический смысл определенного интеграла.

Путь S, пройденный телом при прямолинейном движении со скоростью v(t) за

интервал времени от t1 до t2, вычисляется по формуле

S= t2t1v(t)dt

58. Геометрический смысл определенного интеграла.

Площать S криволинейной трапеции (фируры, ограниченной графиком

непрерывной положительной на интервале  a;b   функции y=f(x), осью OX и

прямыми x = a и x = b) вычисляется по формуле

S= baf(x)dx 

59. Числовые ряды. Сходимость числового ряда.

60. Числовые ряды. Сходимость числового ряда.

60. Признаки сходимости числовых рядов.

61. Абсолютная и условная сходимость.

62. Степенные ряды.

63. Разложение элементарных функций в числовые ряды.

64. Применение рядов в приближенных вычислениях.

65. Дифференциальные уравнения. Основные понятия.

66. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

67. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

68. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

69. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение степени.

70. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.