Часть 2

Матрица линейного оператора

Пусть X_n - конечномерное линейное пространство размерности n над полем K. Линейным преобразованием A пространства X_nназывается отoбражение

обладающее свойствами:

Такие линейные преобразования мы будем назвать линейными операторами в X_n.

Всякий линейный оператор A в X_n может быть задан своей матрицей в некотором базисе. Делается это следующим образом: выберем в пространстве X_n какой-либо базис  . Раскладывая вектора A( ), A( ),, A( ) по данному базису мы получаем соотношения

в силу которых возникает матрица   = A (i обозначает номер строки, j - номер столбца), которая называется матрицей линейного оператора A в базисе  . О матрице A =   в этом случае говорят, что она есть матричное представление линейного оператора A в базисе  .

Обратно, с помощью любой матрицы   размерности n×n можно задать линейный оператор в X_n, матричное представление которого в некотором базисе совпадает с исходной матрицей  . Действительно, выбрав в X_n некоторый базис  , мы положим

Построим теперь линейное преобразование A пространства X_n, переводящее векторы   соответственно в  . Чтобы построить искомое преобразование, возьмем произвольный вектор    X_n и разложим его по базису  :

Затем вектору   сопоставим вектор

Преобразование, переводящее   в   назовем A. Ясно, что A( ) =  . Линейность оператора A легко проверяется.

Ясно, что матрица оператора A в базисе e = ( ) есть матрица  .

Формула разложения (1.4) позволяет установить взаимно - однозначное соответствие между векторами     X_n вещественного (комплексного) пространства и точками координатного пространства   размерности n, элементами которого являются упорядоченные наборы вещественных (комплексных) чисел (x₁,,x_n). Именно,

Легко видеть, что это отображение является изоморфным. Иными словами, любое конечномерное пространство можно отождествить с изоморфным ему координатным пространством соответствующей размерности.

Пусть выбранная система координат есть   и вектор   имеет в ней координаты x₁,,x_n. Обозначим элементы матрицы Aпреобразования A, вычисленные в той же системе координат, через a_ij (i, j = 1,,n). Мы имеем

Согласно определению матрицы оператора A

Подставляя эти значения в предыдущее равенство, получим

Следовательно, координаты нового вектора   есть

Таким образом, координатный столбец нового вектора равен произведению матрицы линейного преобразования на координатный столбец старого вектора

Преобразование координат

В предыдущем разделе установлено взаимно-однозначное соответствие между линейными операторами, действующими в n-мерном линейном пространстве и квадратными матрицами порядка n. Однако для этого потребовалось сначала выбрать в X_n определенную координатную систему. Изменив ее, мы изменим соответствие. В результате одному и тому же линейному оператору A в старой и новой координатных системах будут отвечать различные матрицы. Приведем связывающую их формулу.

Пусть в X_n имеются две координатные системы:   и  . Каждый вектор   разложим по первому базису, т.е.

Матрица

называется матрицей перехода от координатной системы   к системе  . Возьмем произвольный вектор   и обозначим через   его координатные столбцы в первой и второй координатных системах. Следовательно, мы имеем

Подставляя во второе из этих равенств выражения для векторов   согласно формулам (1.7), получим

Таким образом, приходим к формулам

Эти равенства и являются искомыми формулами преобразования координат. Матричная запись формул (1.8):

Пусть A - матричное представление линейного оператора A в базисе  , а   - матричное представление этого же оператора в базисе  . Согласно формуле (1.6)

а по правилу преобразования координат (1.9) имеем

Из соотношений (1.10), (1.11) следует, что

Так как вектор   произволен, то отсюда следует формула

Заметим, что с точки зрения теории линейных преобразований матрица перехода есть матрица линейного преобразования, переводящая старую координатную систему в новую, вычисленная в старой системе координат.

Пусть A: X_n  X_n - линейный оператор и A - матрица, соответствующая оператору A в некоторой системе координат. Отличный от нуля вектор   называется собственным вектором оператора A, а число  - собственным значением этого оператора, соответствующим вектору  , если выполнено соотношение:

Оказывается, что число  тогда и только тогда является собственным значением оператора A, когда оно есть корень многочлена

Многочлен D() называют характеристическим многочленом матрицы A. Известно, что коэффициенты многочлена D() не зависят от выбора системы координат в X_n, а полностью определяются самим оператором A. Поэтому многочлен D() называется тожехарактеристическим многочленом оператора A, а уравнение (1.14) характеристическим уравнением этого оператора. Координатный столбец   собственного вектора , очевидно, представляет собой нетривиальное решение однородной алгебраической системы

Овеществление

Через   мы будем обозначать n-мерное линейное пространство над полем комплексных чисел C. Овеществлением пространства  называется вещественное линейное пространство, которое совпадает с   как группа (т.е. состоит из тех же элементов и групповая операция "+" - та же самая), в котором умножение на вещественные числа определено как в  , а умножение на комплексные числа не определено.

Пусть   - базис в  . Каждый вектор   может быть представлен в виде

где   - комплексные числа. Эти же соотношения можно переписать в виде

Таким образом, легко видеть, что овеществление пространства  , будет 2n-мерным вещественным линейным пространством   с базисом  . Овеществление обозначают знаком R сверху слева, т.е.  .

С точки зрения оперирования с координатами овеществление означает следующее:

Фиксируя в   некоторую координатную систему, мы каждому вектору x    можем сопоставить n-мерный координатный столбец [x] комплексных чисел (состоящий из комплексных координат данного вектора). После овеществления  , этому же элементу сопоставляется 2n-мерный координатный столбец действительных чисел; первыми n элементами его являются действительные части комплексных координат, а затем в том же порядке перечисляются мнимые части.

Как и в вещественном линейном пространстве любой линейный оператор A:      допускает матричное представление. Пусть в  фиксирована какая-либо система координат, скажем,  ; Если

то по определению

Пусть

Таким образом,

Переписав формулы (1.15) в виде

и заметив, что

можно сделать следующий вывод:

Линейный оператор A:      порождает линейный оператор  , действующий в овеществленном пространстве , причем для любого  ,

Оператор   называют овеществлением оператора A. Из формул (1.18), (1.19) следует, что матрица овеществленного оператора   в базисе   есть

Комплексификация

Рассмотрим теперь так называемую операцию комплексификации. Пусть   - вещественное линейное пространство.Комплексификация пространства   - это n-мерное комплексное линейное пространство, обозначаемое через  , которое строится следующим образом.

Элементы пространства   - это пары  . Такая точка обозначается через  . Операция сложения двух элементов  и   определяются как

Операция умножения элемента   на комплексное число   производится по правилу

Легко проверить, что   - комплексное линейное пространство. Пусть ( ) - базис в   и, следовательно, любой вектор  может быть записан в виде

Пусть

Тогда элемент   записывается в виде:

Другими словами, векторы   образуют базис в  . Размерность комплексифицированного пространства равна n. Векторы   обозначаются короче через   ( но теперь их можно умножать и на комплексные числа).

Пусть A:      - линейный оператор. Комплексификацией оператора A называют линейный оператор  , определяемый соотношением

Матричная экспонента

Скалярную функцию  , как известно, можно определить любым из следующих (эквивалентных) способов:

где E обозначает единицу.

Отождествляя вещественное n-мерное линейное пространство X_n (произвольной природы) с изоморфным ему координатным пространством  , мы часто само пространство X_n будем обозначать через  . Итак, пусть A:      - линейный оператор. Чтобы определить экспоненту e^A, потребуется понятие предела последовательности линейных операторов.

Говорят, что в вещественном линейном пространстве E задано скалярное произведение, если каждой паре векторов   поставлено в соответствие вещественное число   (называемое скалярным произведением этих векторов), что выполнены условия:

1.   причем 

2.  ,

3.  ,

4.  .

Зафиксируем в   скалярное произведение  , например,

и положим

Формула (1.24) задает так называемую норму вектора   и обладает свойствами:

каковы бы ни были векторы   и вещественное число .

Норма, связанная со скалярным произведением по формуле (1.24), называется нормой, порожденной данным скалярным произведением. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны и поэтому можно пользоваться скалярным произведением (1.23) и порождаемой им евклидовой нормой

Пусть A:      - линейный оператор.

Нормой оператора A называется число

Заметим, что норма A оператора A в конечномерном пространстве конечна. Действительно, достаточно проверить этот факт в том случае, когда норма в   задается формулой (1.26). Тогда

Отсюда видим, что функция   непрерывна в   и, следовательно, ограничена (и даже достигает своей верхней и нижней граней) на единичной сфере

поскольку S - компактное множество.

Вернемся к формуле (1.28). Из неравенства

следует, что

Из неравенства (1.29) получаем, что

С другой стороны, обозначим через j₀ такой номер, что

и положим

Согласно формуле (1.28)

Кроме того, (так как  )

Таким образом, из (1.30), (1.32), (1.33) вытекает двухсторонняя оценка нормы оператора A в терминах его матрицы:

Множество   всех линейных операторов A:      само является линейным пространством над полем вещественных чисел, если операции сложения его элементов (в данном случае операторов) и умножения на скаляры определить по правилам

Метрическим пространством называют множество X произвольной природы, каждой паре элементов x, y которого поставлено в соответствие число (x,y) (называемое расстоянием между точками x и y), обладающее свойствами:

Данные соотношения называют аксиомами метрики, а свойство 3) - неравенством треугольника.

Последовательность точек x_n,  n = 1,2, метрического пространства X называется фундаментальной последовательностью (илипоследовательностью Коши,) если для любого  > 0 существует номер N() такой, что (x_n,x_m) < , для любых n, m  N.

Последовательность x_n  X,   n = 1,2, называется сходящейся к точке x  X, если для любого  > 0, существует номер N() такой, что(x_n,x) < , для любого n  N.

Метрическое пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность его точек сходится к некоторой точке этого пространства.

На множестве линейных операторов   зададим метрику по формуле

Свойства 1) и 2) метрики очевидным образом следуют из определения (1.27) нормы оператора. Доказательство неравенства треугольника равносильно проверке неравенства

для произвольных операторов A, B   . Докажем это неравенство. Пусть

Мы имеем:

Таким образом, для каждого   справедливо неравенство

Отсюда, в силу (1.27), следует неравенство (1.36).

Теорема 1.1.1 Пространство   линейных операторов с метрикой (1.35) является полным метрическим пространством.

Доказательство теоремы. Пусть A_k, k = 1,2, - фундаментальная последовательность точек пространства  , так что для каждого > 0 найдется номер N() > 0 такой, что

Пусть   и  . Из определения нормы оператора, получаем:

Таким образом,   - фундаментальная последовательность в пространстве   с евклидовой метрикой

Пространство   полное. Поэтому существует предел

Переходя в (1.37) к пределу при m  , получаем, что

причем N() - то же, что и (1.37) число, не зависящее от  . Точка   в (1.38) зависит от   линейно и поэтому определяет линейный оператор A

В силу (1.39) мы имеем, что

Таким образом,

Иначе говоря, A_k  A, т.е. пространство   полное.

Пусть дано метрическое пространство X с метрикой  и пусть при этом множество X является линейным пространством, а метрика удовлетворяет условиям:

Точки пространства X называют векторами. Функция ( ,0) называется нормой вектора   и обозначается через  . Нетрудно убедиться, что так определенная норма удовлетворяет свойствам (1.25) и при этом справедливо равенство

Такое пространство X называется нормированным, а функция     называется нормой в X. Описанное выше пространство операторов   является, таким образом, полным нормированным пространством; норма в нем задается формулой (1.27).

Пусть X - полное нормированное пространство. Поскольку элементы X можно складывать и умножать на числа, то имеет смысл рассматривать ряды вида

Теория таких рядов буквально повторяет теорию числовых рядов.

Теория функциональных рядов также может быть обобщена на функции со значениями в линейном пространстве X. Говоря точнее, пусть f_i, i = 1,2 - функции, заданные на некотором множестве (вообще говоря, произвольной природы) T и принимающие значения в полном нормированном пространстве X:

Функциональный ряд   называется сходящимся в точке t  T, если сходится последовательность  частичных сумм этого ряда. Предел f(t) частичных сумм S_k(t), k = 1,2, называют суммой ряда и пишут

Другими словами, функциональный ряд   сходится в точке t  T к функции f(t), если для произвольного  > 0 найдется число N =N(,t) (зависящее от  и, вообще говоря, от t) такое, что

В силу полноты пространства X имеет место критерий Коши сходимости ряда - для каждого  > 0 cуществует номер N(,t) такой, что:

Ряд   называют равномерно сходящимся на множестве T, если номер N в (1.43) (или в (1.44), что одно и то же) может быть выбран не зависящим от точек t  T.

Ряд   называют абсолютно сходящимся, если сходится числовой ряд  .

Признак Вейерштрасса. Если ряд   из функций f_i: T  X мажорируется сходящимся числовым рядом:

то он сходится абсолютно и равномерно на T.

Пусть f: T  X - функция, определенная на некотором открытом множестве T вещественной прямой R со значениями в полном нормированном пространстве X. Функция f называется дифференцируемой в точке t = t₀  T, если в X существует предел

то есть

Элемент   называется производной функции f в точке t = t₀ и обозначается через  . Функция f дифференцируема на открытом множестве T, если она дифференцируема в каждой точке этого множества.

Дифференцирование ряда. Если ряд   функций f_i: R  X сходится и ряд из производных   сходится равномерно на R, то он сходится к производной  .

Для случая X = R доказательство обоих теорем имеются в курсе анализа. На описанный выше случай эти доказательства переносится дословно.

Определение экспоненты e^A

Пусть A:      - линейный оператор. Экспонентой e^A оператора A называется линейный оператор из   в  , определяемый формулой

где E - тождественный оператор в  .

Теорема 1.1.2 Ряд e^A сходится в пространстве   при любом A равномерно на каждом множестве

Доказательство. Пусть оператор A    такой, что A  a. Замечая, что  , получим, что числовой ряд

мажорирует ряд (1.45). Поскольку ряд (1.46) сходится, то по признаку Вейерштрасса ряд (1.45) равномерно сходится при A  S_a.

Упражнение. Вычислить матрицу e^At, если матрица A имеет вид:

Свойства экспоненты

Пусть T:      - линейный оператор. Семейство   линейных операторов, действующих в некотором пространстве Xназывают однопараметрической полугруппой операторов, если   

Если t может изменяться на всей числовой прямой  < t < +, то   есть однопараметрическая группа операторов.

Теорема 1.1.3 Семейство линейных операторов e^tA:     , t  R, является однопараметрической группой линейных операторов в .

Доказательство теоремы. Мы уже знаем, что e^tA - линейный оператор, действующий в  . Проверим, что имеют место свойства:

Обозначим через S_m(A) частичную сумму для ряда e^A:

Заметим, что S_m -многочлен с неотрицательными коэффициентами относительно A. Мы должны доказать, что разность

стремится к нулю при m   по норме пространства  . Заметим, что _m - это многочлен с неотрицательными коэффициентами относительно sA и tA. Действительно, преобразуем выражение

Так как

то предыдущее выражение принимает вид

Отсюда видно, что коэффициенты этого многочлена неотрицательны и, следовательно,

Положим

Предыдущие выкладки показывают, что выражение в правой части неравенства (1.50) равно разности

которая при любых значениях  и  стремится к нулю в силу формулы:  . Итак,

Формула (1.47) доказана.

Для доказательства формулы (1.48) продифференцируем ряд

формально по t. Получим ряд из производных

Этот ряд сходится абсолютно и равномерно в любой области A  a, t  T и поэтому производная суммы ряда существует и равна сумме ряда из производных, т.е. Ae^tA. Теорема доказана.