1.2 Интегрируемые типы уравнений первого порядка

В этом параграфе мы приведем методы интегрирования в квадратурах некоторых простейших уравнений первого порядка.

I. Уравнения в полных дифференциалах

Рассмотрим уравнение вида

правая часть которого представлена в виде отношения двух функций g(t,x) и h(t,x). Предполагается, что функции g(t,x) и h(t,x) определены и непрерывны на некотором открытом множестве D плоскости переменных (t,x) и знаменатель h(t,x) не обращается в нуль ни в одной точке этого множества. Уравнение (1.11) часто символически записывают в виде

Уравнение (1.11) называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть равенства (1.12) представляет собой полный дифференциал некоторой функции F(t,x) на всем множестве D, т.е.

Таким образом,

Справедливо следующее утверждение:

Для каждого решения x =(t) уравнения (1.11) имеет место тождество

Обратно, каждая функция x =(t), заданная на некотором интервале и определяемая как неявная функция из уравнения

(C - произвольная постоянная), является решением дифференциального уравнения (1.11).

Действительно, пусть x =(t) - решение уравнения (1.11) с интервалом определения r₁ < t < r₂. Тогда мы имеем, что

Отсюда получаем

В силу (1.14) тогда имеем

т.е.

Таким образом, F(t,(t)) есть константа на всем интервале (r₁,r₂).

Обратно, предположим что x =(t) есть решение уравнения (1.15), определенное на некотором интервале, так что

Дифференцируя это тождество по t, мы в силу (1.14) получаем:

Отсюда видно, что x = (t) есть решение дифференциального уравнения (1.11). Утверждение доказано.

Из сказанного выше ясно, что решение конкретного уравнения в полных дифференциалах состоит в практическом нахождении функции F(t,x). Если функции h(t,x) и g(t,x) обладают непрерывными частными производными по t и x, то из (1.14) следует соотношение

Тождество (1.16), как известно, является необходимым, а в случае односвязной области D и достаточным условием того, что выражение

есть полный дифференциал некоторой функции F(t,x). Из курса математического анализа известно, что функцию F(t,x) можно определить по ее полному дифференциалу hdxgdt, взяв криволинейный интеграл от h(t,x)dx  g(t,x)dt по любому пути L, соединяющему некоторую фиксированную точку (t₀, x₀) и точку (t,x) с текущими координатами:

Часто бывает возможным выбрать в качестве пути L ломаную, состоящую из двух звеньев, параллельных осям координат; в этом случае

В некоторых случаях, когда левая часть уравнения (1.12) не является полным дифференциалом, легко удается подобрать такую функцию (t,x), после умножения на которую левая часть уравнения (1.12) превращается в полный дифференциал

Такая функция  называется интегрирующим множителем. (Заметим, что умножение на интегрирующий множитель  может привести к появлению лишних частных решений, обращающих функцию  в нуль). Из соотношения (1.17) следует, что

Если функции , h и g непрерывно дифференцируемы в D, то из (1.18) следует равенство

Если область D односвязна, то равенство (1.19) является (подобно (1.16)) не только необходимым, но и достаточным условием существования функции F(t,x), для которой выполняется тождество (1.17).

В общем случае интегрирование (т.е. нахождение функции ) уравнения (1.19) в частных производных является задачей не более простой, чем решение исходного уравнения (1.11), однако в некоторых случаях подбор частного решения уравнения (1.19) не представляет затруднений.

II. Линейные уравнения

Линейным уравнением первого порядка называют уравнения

где a(t), b(t) - заданные функции переменной t. Предположим, что функции a(t) и b(t) определены и непрерывны на некотором интервале r₁ < t < r₂ (возможно, что r₁ = , r₂ = + одновременно или выполнено одно из этих соотношений). Таким образом, открытое множество D, на котором задана правая часть уравнения (1.20) представляет собой полосу r₁ < t < r₂ на плоскости (t,x), если r₁ и r₂конечны; полуплоскость, если конечна только одна из величин r₁, r₂ и плоскость, если бесконечны обе величины r₁, r₂. Правая часть уравнения (1.20) непрерывна вместе со своей частной производной по x на всем множестве D и поэтому удовлетворяет (по x) условию Липшица. Итак, для уравнения (1.20) условия теоремы  выполнены.

Пусть t₀ - некоторая точка интервала (r₁,r₂). Положим

Функция A(t), очевидно, определена на интервале r₁ < t < r₂. Докажем, что совокупность всех решений уравнения (1.20) задается формулой

где x₀ - произвольная константа. Для вывода формулы (1.22) рассмотрим сначала однородное уравнение, соответствующее (1.20), т.е. уравнение

Это уравнение в полных дифференциалах. В самом деле, символически его можно записать в виде

Соответствующая функция F(t,x) легко вычисляется:

где A(t) определена по формуле (1.21). В таком случае, согласно вышесказанному, решения уравнения (1.23) определяются как неявные функции из соотношения

Отсюда находим   или

где C может принимать любые действительные значения.

Для получения с помощью формулы (1.24) решения неоднородного уравнения (1.20) применяется так называемый метод вариации постоянной.То есть решение уравнения (1.20) ищется в виде (1.24), но C уже не константа, а некоторая неизвестная функция переменного t. Подставляя выражение

в уравнение (1.20), получим:

или, что то же

Отсюда находим

где x₀ - константа интегрирования. На основании (1.25), (1.26) получаем формулу (1.22).

Некоторые дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть сведены к линейным. К таким уравнениям относится так называемое уравнение Бернулли, имеющее вид

Это уравнение заменой переменной   сводится к линейному. Действительно, так как

то произведя подстановку, получим линейное уравнение

Рассмотрим уравнение Риккати:

Это уравнение в общем виде квадратурой не интегрируется, но может быть заменой переменных сведено к уравнению Бернулли, если известно одно частное решение этого уравнения. Действительно, если x₁ = x₁(t) - известное частное решение, то полагая

получим

Так как

то приходим к уравнению Бернулли

III. Уравнения с разделяющимися переменными

Так называются уравнения

Предположим, что функция f(t) определена и непрерывна на интервале r₁ < t < r₂, а функция g(x) определена, непрерывна и не обращается в нуль на интервале q₁ < x < q₂. Рассматриваемое уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Именно, оно может быть символически записано в виде

а соответствующая функция F(t,x) задается формулой

Здесь x₀  (q₁,q₂),  t₀  (r₁,r₂) - фиксированные точки, а x и t изменяются на этих же интервалах. В силу сказанного в разделе I все решения уравнения (1.27) получаются как неявные функции из соотношения

IV. Однородные уравнения

Уравнение первого порядка

называется однородным, если f(t,x) есть однородная функция своих аргументов нулевой степени однородности, т.е. имеет место тождество

Полагая в (1.28)  , получаем тождество

Таким образом, правая часть по существу зависит только от отношения переменных. Обозначая

видим, что однородное уравнение всегда можно представить в виде

Будем предполагать, что функция h(y) определена и непрерывна на интервале a₁ < y < a₂ и что на этом интервале функция h(y)  y в нуль не обращается.

Уравнение (1.29) решается посредством замены переменных. Точнее, вместо неизвестной функции x(t) введем новую неизвестную функцию y(t):

Произведя такую подстановку, для новой неизвестной функции y получаем уравнение

Мы получили уравнение с разделяющимися переменными, которое решается способом, указанным в III.

Замечание. Если h(y)  y, то уравнение (1.29) имеет вид

и интегрируется методом разделения переменных (его общее решение - x = Ct). Если h(y)  y обращается в нуль при y = y₀, то кроме решений, получающихся из (1.30), имеется решение  .