2.2 Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

В настоящем параграфе будет рассматриваться уравнение

где   - дифференциальный оператор n-го порядка с постоянными коэффициентами, а F = F(t) - известная функция вида:

₁,,_m - некоторые комплексные числа, a f₁(t),f_m(t) - многочлены от t.

Всякую функцию вида (2.42) называют квазимногочленом. Как доказано в теореме 2.1.2, каждое решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами является квазимногочленом. Заметим еще, что без ограничения общности рассуждений, можно считать числа ₁,,_m, входящие в формулу (2.42), попарно различными. Линейная комбинация квазимногочленов есть квазимногочлен; произведение двух квазимногочленов представляет собой квазимногочлен; если к произвольному квазимногочлену применить произвольный оператор L(p), то мы вновь получим квазимногочлен.

Предложение 2.2.1 Предположим, что   - некоторое решение уравнения (2.41). Тогда произвольное решение z(t) этого же уравнения может быть записано в виде:

где u - некоторое решение однородного уравнения

Так как отыскивать произвольное решение однородного уравнения мы уже умеем, то дело сводится, таким образом, к отысканию какого-либо одного или, как говорят, частного решения неоднородного уравнения (2.41), правая часть которого F(t) есть квазимногочлен. При этом в силу формулы (2.42), достаточно найти частное решение уравнения (2.41), в том случае, когда F(t) = f(t)e^t, где f(t) - многочлен. Для квазимногочлена общего вида (2.42) частное решение получим в виде суммы частных решений, соответствующих каждому слагаемому в формуле (2.42).

Теорема 2.2.1 Рассмотрим неоднородное уравнение

в котором f(t) есть многочлен степени r относительно t, а  - комплексное число. Положим k = 0, если L()  0 и k - кратность корня, если L() = 0. Тогда существует частное решение уравнения (2.45), имеющее вид:

где g(t) есть многочлен степени r относительно t. Коэффициенты многочлена g(t) можно найти методом неопределенных коэффициентов.

Доказательство. Запишем многочлен f(t) в виде

где f^*(t) - многочлен степени r1 и будем искать многочлен g(t) в виде:

g^*(t) - многочлен степени r1.

Далее, в силу определения числа k, мы имеем

причем M()  0. Для того, чтобы функция (2.46) была решением уравнения (2.45), необходимо выполнить условие (см. формулу смещения)

То есть, многочлен g(t) должен удовлетворять условию

Многочлен M(p +) может быть записан в виде:

Принимая во внимание соотношения (2.47)-(2.51), равенство (2.50) перепишем так:

или

Старшими членами в данном равенстве являются члены, содержащие t^r. Приравнивая такие члены, получаем:

Поскольку M()  0, то из (2.53) однозначно определяется коэффициент b₀ искомого многочлена g(t). Считая, что b₀ выбран именно таким образом, получаем в силу (2.52) уравнение

В правой части данного равенства стоит известный многочлен степени r1, а в левой части присутствует неизвестный многочлен g^*(t) степени r1. Уравнение (2.54) отличается от уравнения (2.50) только степенью входящих в него многочленов, которая понизилась на единицу. Повторяя для уравнения (2.54) рассуждения, приведенные ранее для уравнения (2.50), мы вычисляем коэффициент b₁ при степени t^r1 (высшей степени многочлена g^*(t)). Продолжая этот процесс дальше, мы вычисляем все коэффициенты b₀,b₁,,b_r многочленаg(t), таким образом, чтобы он удовлетворял уравнению (2.50). Теорема 2.2.1 доказана.