1.2 Доказательство теорем существования и единственности для одного уравнения

В этом параграфе будет дано доказательство сформулированной в § 1 главы I части I теоремы 1.1.1 существования и единственности для одного уравнения первого порядка

правая часть которого определена и непрерывна на некотором множестве D плоскости   переменных t, x. Предполагается также, что функция f(t,x) удовлетворяет на D условию Липшица относительно x (равномерно по t), т.е.

Первым шагом доказательства теоремы 1.1.1 гл. 1 части 1 является переход от дифференциального уравнения к интегральному, который мы сформулируем в виде отдельного предложения.

Предложение 1.2.1 Пусть x =(t) - некоторое решение уравнения (1.6), определенное на интервале r₁ < t < r₂ так, что выполнено тождество

и пусть

- некоторое начальное условие, которому это решение удовлетворяет. Тогда для функции (t) на всем интервале r₁ < t < r₂ выполнено интегральное тождество

Обратно, если для некоторой непрерывной на интервале r₁ < t < r₂ функции (t) выполнено тождество (1.10), то функция x =(t) дифференцируема, является решением уравнения (1.6) и удовлетворяет начальному условию (1.9). Говоря коротко, интегральное уравнение (1.10) эквивалентно задаче (1.8),(1.9).

Доказательство. Предположим сначала, что непрерывная функция (t) удовлетворяет интегральному уравнению (1.10). Заменяя в нем переменное t его значением t₀, получаем (t₀) = x₀. Таким образом, из (1.10) следует (1.9). Далее, правая часть в (1.10) является дифференцируемой по t функцией и поэтому дифференцируема по t и левая его часть. В результате дифференцирования тождества (1.10) получаем тождество (1.8). Обратное утверждение получаем в результате интегрирования соотношения (1.8), учитывая (1.9). Предложение доказано.