2.3 Предельные циклы

В этом параграфе будет изучено понятие предельного цикла, играющего важную роль как в самой теории обыкновенных дифференциальных уравнений, так и в ее приложениях к технике.

Будем рассматривать автономную нормальную систему уравнений

правые части которых определены и имеют непрерывные частные производные   на всей фазовой плоскости   переменныхx₁, x₂. Мы будем пользоваться также векторной записью этой системы:

Пусть   - периодическое решение уравнения (2.50) и K - описываемая этим решением замкнутая кривая в плоскости  . Решение  (а также траектория K) считается изолированным периодическим решением и называется предельным циклом, если существует такое положительное число , что какова бы ни была точка   плоскости  , находящаяся от кривой K на положительном расстоянии меньшим чем , решение уравнения (2.50), проходящее через точку  , не является периодическим.

Данное определение геометрически означает, что на фазовой плоскости   вблизи замкнутой траектории K уравнения (2.50) не проходит других замкнутых траекторий этого уравнения. Следующая теорема дает ответ на вопрос о том, как ведут себя вблизи предельного цикла K другие траектории уравнения (2.50).

Теорема 2.3.1 Пусть   - предельный цикл уравнения (2.50) и K - замкнутая траектория, описываемая этим решением на плоскости  . Замкнутая кривая K, как известно, разбивает плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю, а так как траектории уравнения (2.50) не могут между собой пересекаться, то каждая отличная от K траектория является внутренней или внешней по отношению к траектории K. Оказывается, что как для внешних, так и для внутренних траекторий имеются две исключающие друг друга возможности поведения вблизи K. Именно, все внутренние траектории, начинающиеся вблизи K, наматываются на K, как спирали, либо при t + (рис. 2.1), либо при t   (рис. 2.2). То же самое имеет место и для внешних траекторий (рис. 2.1, 2.2).

Если все траектории (как внутренние, так и внешние) начинающиеся вблизи K, наматываются на K при t +, то предельный цикл называется устойчивым (рис 2.1). Если все траектории, начинающиеся вблизи K, наматываются на K при t  , то предельный цикл Kназывается вполне неустойчивым (рис 2.2). В двух других случаях (т.е. если внутренние траектории наматываются на K при t  , а внешние - при t+, или наоборот) предельный цикл K называется полуустойчивым (рис 2.3).

Собственно доказательство теоремы 2.3.1, а также полное описание "наматывания" траекторий на предельный цикл опираются на понятие функции последования. Эта функция имеет наглядный геометрический смысл и мы сейчас дадим ее описание, не вдаваясь в детали доказательств.

Функция последования.

Итак, пусть K - замкнутая кривая на фазовой плоскости  , соответствующая периодическому решению с периодом T₀. Пусть L - прямолинейный отрезок в плоскости  , пересекающий кривую K, не касаясь ее, в единственной точке  , внутренней для отрезка L. На отрезке L обычным образом введем числовую координату. Координату точки   обозначим через u₀. Через точку   отрезка L с координатой u проведем траекторию уравнения (2.50) и будем двигаться по ней в направлении возрастания времени t. Геометрически ясно, что если точка   близка к  , то мы будем двигаться вблизи кривой K, и поэтому вновь и вновь будем встречать отрезок L. Первая встреча произойдет через время, близкое к T₀, в некоторой точке   (рис. 2.4), координату которой мы обозначим через ₁(u). Точно также, если мы будем двигаться из точки   по траектории в направлении убывания времени, то через время, близкое к T₀, мы впервые встретим отрезок L в некоторой точке  , координату которой обозначим через _1(u). Обе функции ₁ и _1 непрерывны и взаимно обратны, то есть:

В самом деле, если двигаться из точки   в направлении убывания времени, то мы впервые встретим отрезок L в точке  , так что _1(₁(u)) = u. Точно так же, при движении из точки   в направлении возрастания времени мы впервые встретим отрезок L в точке  , т.е.₁(_1(u)) = u. Функция  = ₁ называется функцией последования. Для доказательства теоремы 2.3.1 существенно, что она непрерывна и имеет непрерывную обратную функцию  .

Мы удовлетворимся приведенными здесь наглядными геометрическими соображениями и не станем заниматься строгим доказательством существования функции последования и доказательствами ее свойств.

Доказательство теоремы 2.3.1. Выберем на фазовой плоскости   прямолинейный отрезок L, пересекающий кривую K, не касаясь ее, в единственной точке  , внутренней для отрезка L. Введем на отрезке L числовую координату и обозначим через u₀ координату точки . Для определенности будем считать, что точкам отрезка L, лежащим вне кривой K, соответствуют координаты, большие u₀, а точкам, лежащим внутри K, - координаты, меньшие u₀. Через  обозначим функцию последования, соответствующую отрезку L.

Таким образом, для всех чисел достаточно малого интервала uu₀ <  траектория уравнения (2.50), начинающаяся на отрезке L в точке   с координатой u, при возрастании времени впервые пересекает отрезок L в точке   с координатой (u) = v.

Мы имеем, очевидно: (u₀) = u₀. Далее, если для числа u выполнено равенство

то траектория, начинающаяся в точке   с координатой u, замкнута. Так как, по определению, траектория K является изолированной замкнутой траекторией, то существует настолько малое положительное число , что при uu₀ <  уравнение (2.51) имеет единственное решение u = u₀. Из этого следует, что для всех точек интервала u₀ < u < u₀ + имеет место одно из неравенств:

Действительно, если бы для некоторых точек этого интервала имело место неравенство (2.52), а для некоторых - неравенство (2.53), то, в силу непрерывности функции , на том же интервале нашлась бы точка u, для которой выполняется равенство (2.51), что невозможно. Так как траектория, начинающаяся в точке   с координатой u, принадлежащей интервалу u₀ < u < u₀ +, не может пересечь траектории K, то обе точки   и   лежат по одну сторону кривой K (точнее, вне K), так что:

Рассмотрим сначала случай, когда для всех точек интервала u₀ < u < u₀ + имеет место неравенство (2.52). Пусть u₁ - произвольное число этого интервала. Определим последовательность чисел u₁,u₂,, положив:

В силу неравенств (2.52) и (2.54) эти числа расположены на интервале u₀ < u < u₀ + и образуют убывающую последовательность. Следовательно, они имеют некоторый предел  . Переходя в равенстве (2.55) к пределу при i  , получаем ( ) =  . Так как точка  принадлежит интервалу uu₀ < , то в силу единственности решения уравнения (2.51) на этом интервале,   = u₀. Таким образом, . Обозначим через   точку отрезка L с координатой u_i, мы видим, что точки   пересечения траектории, начинающейся в   с отрезком L сходится к точке  , лежащей на траектории K. Так как время перехода по нашей траектории от точки   до точки  близко к периоду T₀ предельного цикла K, то при росте i весь отрезок траектории от точки   до точки   прижимается к траекторииK. Это и означает, что траектория, начинающаяся в точке  , спирально наматывается на траекторию K при t +. Таким образом, доказано, что при выполнении неравенства (2.52) траектория, начинающаяся в любой точке отрезка L с координатой u, принадлежащей интервалу u₀ < u < u₀ +, спирально наматывается на K при t  +.

Если на интервале u₀ < u < u₀ + имеет место неравенство (2.53), то для функции  , обратной к  на некотором интервале  имеет место неравенство  . Исходя из него, мы точно так же покажем, что в этом случае любая траектория, начинающаяся в точке отрезка L с координатой v, принадлежащей интервалу u₀ < v < u₀ +, спирально наматывается на траекторию Kпри t.

Аналогично исследуется поведение траекторий, начинающихся на отрезке L в точках с координатами u, из достаточно малого интервала  . Таким образом, мы разобрали поведение всех траекторий, близких к предельному циклу. Теорема доказана.