1.1 Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства

Теория обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет изучать всевозможные эволюционные процессы, обладающие свойствами детерминированности, конечномерности и дифференцируемости. Процесс называется детерминированным, если весь его будущий ход и все его прошлое однозначно определяется состоянием в настоящее время. Множество всевозможных состояний процесса называется фазовым пространством. Например, классическая механика рассматривает движение систем, будущее и прошлое которых однозначно определяется начальными положениями и начальными скоростями всех точек системы. Фазовое пространство механической системы - это множество, элементами которого являются набор положений и скоростей всех точек данной системы. Это не точные математические определения, но чтобы освоится с этими понятиями рассмотрим пример, где уже одно введение фазового пространства позволяет решить довольно трудную задачу.

Задача. Из города А в город В (рис 1.1) ведут две непересекающиеся дороги. Известно, что две машины, выезжающие по разным дорогам из А и В и связанные веревкой некоторой длинны, меньшей 2l, смогли проехать из А в В, не порвав веревки.

Могут ли разминуться не коснувшись, два круглых воза радиуса l, центры которых движутся по этим дорогам навстречу друг другу?

Обозначим через x_i долю расстояния от А до В по i-ой дороге, заключенную между А и находящимся по этой дороге экипажем. Тогда положение двух экипажей (один на первой дороге, другой - на второй) можно характеризовать точкой квадрата M. Всевозможным положениям экипажей соответствуют всевозможные точки квадрата M. Этот квадрат будет фазовым пространством, а его точки - фазовыми точками. Таким образом, каждая фазовая точка соответствует определенному положению пары экипажей, а всякое движение экипажей изображается движением точки в фазовом пространстве. Например, начальное положение машин (в городе А) соответствует левому нижнему углу квадрата (x₁ = 0, x₂ = 0), а движение машин из А в В изображается кривой, ведущей в противоположный угол. Начальное положение возов соответствует правому нижнему углу квадрата (x₁ = 0, x₂ = 1), а движение возов изображается кривой, ведущей в противоположный угол квадрата.

Но всякие две кривые в квадрате, соединяющие разные пары противоположных вершин, пересекаются. Поэтому, как бы ни двигались возы, наступит момент, когда пара возов займет положение, в котором была в некоторый момент времени пара машин. В этот момент расстояние между центрами возов будет меньше 2l. Итак, разминуться не удастся.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной, если в нее явно не входит независимое переменное t. (или, как говорят, время) Мы ограничимся изучением автономных нормальных систем уравнений порядка n, т.е. систем вида:

Автономность системы (1.1) заключается в том, что функции f_i(x₁,,x_n), i = 1,,n является функциями только переменных x₁,,x_n и не зависят от времени t.

Кинематическая интерпретация решений

Каждому решению

автономной системы (1.1) поставим в соответствие движение точки (₁(t),...,_n(t)) в n-мерном координатном пространстве (x₁,,x_n) задаваемое уравнениями (1.2). В процессе своего движения точка описывает некоторую кривую - траекторию движения. Если сопоставить решению (1.2) не процесс движения, а траекторию движения точки, то мы получаем менее полное представление о решении, поэтому на траектории принято указывать направление движения. Итак, кинематическая интерпретация решения автономной системы состоит в том, что решению сопоставляется траектория движения точки в координатном пространстве (x₁,,x_n) с указанием направления движения вдоль траектории.

Фазовые пространства

Будем предполагать, что функции f_i(x₁,,x_n),  i = 1,2,,n в системе (1.1) определены на некотором открытом множестве  пространства . Каждой точке   в силу системы (1.1) соответствует вектор

проведенный в   и выходящий из точки  . Таким образом, автономной системе ставится в соответствие геометрический образ -векторное поле, заданное в области .

Пространство размерности n, в котором интерпретируется решения автономной системы (1.1) в виде траекторий, а сама автономная система в виде векторного поля, называется фазовым пространством. Траектории называются фазовыми траекториями, векторы  называются фазовыми скоростями.

Условие (*). Предположим, что фазовая скорость   и ее частные производные   непрерывны в области  .

Таким образом, существует решение   системы (1.1), удовлетворяющее начальному условию

Связь между кинематической интерпретацией решений и интерпретацией самой автономной системы заключается в том, что скорость движения точки по траектории в каждый момент времени совпадает с фазовой скоростью, заданной в том месте пространства, где в этот момент находится движущаяся точка.

Некоторые свойства решений автономных систем

Пусть

- векторная запись автономной системы (1.1), причем вектор-функция   удовлетворяет условиям (*).

Предложение 1.1.1 Если   - решение уравнения (1.4), то  , где C - константа, также есть решение уравнения (1.4).

Доказательство. Так как   - решение, то мы имеем тождество

Заменяя здесь t на t + C, мы получаем:

C другой стороны, из правила дифференцирования сложной функции вытекает соотношение

Таким образом, получаем тождество

Предложение 1.1.2 Пусть   и   - два решения уравнения (1.4). Тогда фазовые траектории, соответствующие этим решениям, либо не пересекаются, либо совпадают. Именно, если траектории имеют хотя бы одну общую точку, т.е. найдутся такие t₁ и t₂, что

то

Последнее равенство показывает, что фазовые траектории, описываемые первым и вторым решениями, совпадают между собой, но первое решение описывает ту же самую траекторию, что и второе, с "запаздыванием" на время c. Если точка, соответствующая первому решению, достигла некоторого положения на траектории в момент времени t + c, то точка, соответствующая второму решению, уже побывала в этом положении в момент времени t.

Доказательство. Поскольку   - решение, то в силу предложения 1.1.1 вектор-функция  , где c = t₁  t₂ также является решением (1.4). При этом в силу равенства (1.5) мы имеем:

Таким образом, решения   и   уравнения (1.4) имеют общие начальные условия (их значения в момент времени t₂совпадают) и поэтому в силу теоремы единственности совпадают, так что, мы имеем:  .

Предложение 1.1.3 Пусть

- некоторое решение уравнения (1.4). Допустим, что имеет место равенство

где числа t₁ и t₂, разумеется, принадлежат интервалу r₁ < t < r₂ определения решения (1.7). Оказывается, что при этом условии решение (1.7) может быть продолжено на весь бесконечный интервал  < t < +. Поэтому мы сразу будем считать, что решение (1.7) определено на всей оси  < t < +. Далее, оказывается, что возможны два взаимно исключающих случая.

i) Для всех значений t имеет место равенство

где   - точка множества , не зависящая от t. Таким образом, в этом случае фазовая траектория представляет собой неподвижную точку. Само решение (1.7) и точка   в этом случае называется положением равновесия системы (1.4).

ii) Существует такое положительное число T₀, что при произвольном t имеет место равенство

но при  t₁t₂< T₀ имеет место неравенство

В этом случае решение (1.7) называется периодическим с периодом T₀, и его фазовая траектория называется замкнутой траекторией или циклом.

Доказательство. Пусть для определенности точки t₁, t₂  (r₁,r₂) в (1.8) таковы, что t₁ < t₂. Положим T = t₂  t₁. Всякое t  R можно однозначно представить в виде t = nT +, 0   < T, n-целое число. Рассмотрим функцию  .   - периодическая функция с периодом T, так как  . Вектор-функция   непрерывно дифференцируема на всей вещественной прямой, поскольку на всяком интервале nT < t < (n+1)T ее значения совпадают со значениями дифференцируемой на интервале t₁ < t <t₂ вектор-функции   и существует производная   в точках вида nT. Действительно:

Из сказанного выше ясно, что   - решение системы (1.4), являющееся продолжением решения   с интервала t₁ < t < t₂ на всю действительную ось. Продолженное решение далее мы будем обозначать также через  .

Рассмотрим множество всех периодов полученной непрерывной функции  .

Лемма 1.1.1 Множество F всех периодов непрерывной на действительной оси функции   является замкнутой подгруппой группы вещественных чисел, т.е. множество F обладает свойствами: 1) если c₁  F, c₂  F, то c₁ + c₂  F,  2) если c  F, то  c  F, 3) если последовательность   сходится к числу c₀ , то c₀ тоже принадлежит множеству F.

Доказательство. Если   и  , то  , то есть c₁ + c₂  F. Пусть  . Заменяя в этом соотношении t на tc, получаем  , другими словами c  F. Далее, если c_n,  n = 1,- последовательность периодов и , то в виду непрерывности   имеем:

Лемма 1.1.2 Всякая замкнутая подгруппа G группы вещественных чисел R есть либо R, либо 0, либо множество {kT₀, k  Z} всех целых кратных некоторого числа T₀  R.

Доказательство. Если G  {0}, то в G имеются положительные числа (так как множество G вместе с каждым числом t содержит числоt). Рассмотрим число

Очевидно, 0  T₀ < +. Предположим, что T₀ > 0. Тогда число T₀ принадлежит G, поскольку является предельной точкой для G, а G - замкнуто. Целые кратные T₀ принадлежат G, так как G - подгруппа. Других точек в G нет. Действительно, точки kT₀ делят прямую R на интервалы kT₀ < t < (k+1)T₀.

Если бы группа G имела еще один элемент t (отличный от kT₀), он попал бы в один из таких интервалов и тогда число tkT₀ также принадлежало бы G. Но 0 < t  kT₀ < T₀, что невозможно поскольку T₀ - нижняя грань. Итак, если T₀ > 0, то G = {kT₀; k  Z}.

Остается рассмотреть случай T₀ = 0. В этом случае для любого  > 0 найдется элемент t  G такой, что 0 < t < . Тогда все точки kt, k  Zтакже принадлежат G. Точки kt делят вещественную прямую R на интервалы длины меньше . Значит, в любой окрестности любой точки R есть точки множества G (другими словами любое вещественное число является предельной точкой для G). Поскольку G - замкнутое множество, G  R. Лемма доказана.

Возвращаясь к периодическим решениям и принимая во внимание, что множество периодов F  {0}, мы видим, что множество периодов F либо составляет всю прямую (а тогда имеет место случай i)), либо состоит из всех целых кратных наименьшего периода T₀. Таким образом, предложение 1.1.3 доказано.

Кратко предложение 1.1.3 можно резюмировать так: имеется три сорта фазовых траекторий: 1) положение равновесия; 2) периодические траектории (циклы); 3) траектории без самопересечений.

Таким образом, через каждую точку области  задания системы (1.4) проходит траектория, изображающая решение системы. Поэтому, вся область  заполнена траекториями, причем, согласно предложению 1.1.2, траектории эти попарно не пересекаются. Среди всех траекторий особо выделяются самопересекающиеся, которые являются либо положениями равновесия, либо циклами. Эти два сорта траекторий имеют важное значение.

Предложение 1.1.4 Для того, чтобы точка   множества  была положением равновесия системы (1.4), то есть чтобы имелось решение   системы, для которого

необходимо и достаточно, чтобы фазовая скорость   в точке   была равна нулю. Таким образом, для отыскания всех положений равновесия системы (1.4) нужно решить систему уравнений:

Замечание. Геометрическая интерпретация решения (1.2) системы уравнений (1.1), указанная ранее в главе 1, ставит в соответствие этому решению интегральную кривую K = Г_ = {(t,₁(t),,_n(t)), r₁ < t < r₂} в (n+1)-мерном пространстве переменных t,x₁,,x_n. Здесь tявляется одной из координат в пространстве  . Переход к интерпретации в n-мерном фазовом пространстве   переменных x₁,,x_nзаключается в том, что мы перестаем считать величину t координатой точки, а считаем ее параметром. Таким образом, фазовая траектория L получается из кривой K в результате проектирования пространства  (t,x₁,,x_n) на пространство  (x₁,,x_n). Фазовые траектории неавтономной системы уравнений могут пересекаться, не совпадая. Поэтому за решениями неавтономных уравнений лучше следить по интегральным кривым.