Критерий минимального среднего риска (байесовский критерий)

Для учета разных последствий ошибок передачи различных сообщений следует обобщить критерий Котельникова, минимизируя сумму условных вероятностей в его выражении (6.1) с заранее назначенными весами (ценой, платой) L_i,j. Средневзвешенная сумма условных вероятностей при передаче сообщения b_i (обычно называемая условным риском) имеет вид

,

а сам критерий требует

, (6.7)

где R – средний риск.

При использовании этого критерия оптимальной считается решающая схема, обеспечивающая наименьшее значение среднего риска (6.7).

Из критерия минимального среднего риска, как наиболее общего, вытекают оба вышерассмотренных критерия:

1. критерий Котельникова при L_i,i = 0 и L_i,j = const (i ≠ j ),

2. критерий максимального правдоподобия при L_i,i = 0 и .

Практическое использование критерия минимального среднего риска затруднено необходимостью знать вероятности передачи сообщений и сложностью объективного определения весовых коэффициентов L_i,j.

Критерий Неймана-Пирсона

Критерий Неймана-Пирсона применяется в двоичных системах в ситуациях, когда невозможно определить априорные вероятности отдельных сообщений, а последствия ошибок разного рода неодинаковы. Такая ситуация типична для радиолокации, где осуществляется зондирование пространства узким радиолучом и прием отраженного от цели сигнала. При этом имеют место две ситуации: 1) наличие цели – колебание на входе приемника содержит сигнал в аддитивной смеси с помехой (с неизвестной априорной вероятностью P(b₁)), 2) отсутствие цели – на входе приемника действует одна помеха (с вероятностью P(b₀) = 1 – P(b₁)). Задача приема – обнаружение сигнала на фоне помех. При ее реализации возможны два вида ошибок:

1. пропуск цели (цель есть, но отраженный сигнал не обнаружен) с условной вероятностью ;

2. ложная тревога (цель отсутствует, но принято решение о наличии отраженного сигнала) с условной вероятностью .

Очевидно, что последствия этих ошибок сильно различаются.

В таком случае целесообразно стремиться к уменьшению условной вероятности ошибки, вызывающей особо тяжелые последствия (пропуск цели), что можно сделать только за счет увеличения вероятности ошибки другого вида (ложной тревоги). Ясно, что это можно делать до определенной степени, т. к. слишком большая вероятность ложной тревоги приведет к ощутимым экономическим потерям и к подрыву доверия к системе в целом. Разумный выход – зафиксировать вероятность ложной тревоги на выбранном уровне ε

, (6.8)

и затем минимизировать вероятность пропуска цели

. (6.9)

Минимизация (6.9) при заданной величине (6.8) достигается, если решение о наличии цели принимается при выполнении неравенства

,

где λ(ε) – пороговый уровень, определяемый заданной вероятностью ложной тревоги.

15) Какие фильтры называют согласованными с сигналами? Как импульсная характеристика согласованного фильтра связана с сигналом, с которым фильтр согласован? Каковы передаточная функция, АЧХ и ФЧХ согласованного фильтра? Чему равно отношение с/ш на выходе согласованного фильтра?

Согласованный фильтр — линейный оптимальный фильтр, построенный исходя из известных спектральных характеристик полезного сигнала и шума. Согласованные фильтры предназначены для выделения сигналов известной формы на фоне шумов. Критерием оптимальности таких фильтров является получение на выходе максимально возможного отношения амплитудного значения сигнала к действующему значению помехи.

Рассмотрим задачу синтеза согласованного фильтра, обеспечивающего максимальное отношение с/ш на своем выходе для случая, когда на его входе действует аддитивная смесь известного сигнала s(t) и нормального небелого (окрашенного) шума (G() ≠ N = const). Эту задачу можно решить, разделив синтезируемый фильтр на два последовательно включенных (рис. 6.18). От первого из них потребуем выравнивания энергетического спектра шума, т.е. превращения его в белый. По этой причине этот фильтр называют обеляющим. Его передаточную функцию Н₁() можно определить из условия

.

Передаточную функцию второго фильтра определим из условия его согласования с сигналом s₁(t). Для этого предварительно найдем его спектральную функцию

.

Тогда

Теперь можно вычислить передаточную функцию искомого СФ

.

Аналогично поступают при реализации оптимального когерентного демодулятора на корреляторах.