Критерий идеального наблюдателя (критерий Котельникова)

Этот критерий требует обеспечения минимума средней вероятности ошибочного приема.

Для двоичной системы

,

для m-ичной системы

,

где

– условная вероятность j-ой ошибки при передаче

i-го сообщения,

– условная вероятность любой ошибки при передаче

i-го сообщения,

Р – безусловная вероятность любой ошибки.

Вычислим условную вероятность конкретной ошибки

,

где – n-мерная условная плотность вероятности (при разложении в n-мерном евклидовом пространстве по любому базису), а интеграл, вычисляемый по векторной переменной , очевидно, n-кратный. Таким образом, критерий Котельникова приобретает вид

, (6.1)

где находится варьированием областей .

Минимуму средней вероятности ошибок соответствует максимум средней вероятности правильного приема (иная эквивалентная форма записи критерия Котельникова)

. (6.2)

Учитывая, что демодулятор должен реализовать критерий (6.1) или (6.2), принимая решение на основе анализа единственной реализации на интервале 0 – Т, рассмотрим апостериорную вероятность вида , т.е. вероятность того, что при приеме сигнала передавалось сообщение b_i . Очевидно, что максимум средней вероятности правильного приема будет достигнут, если всякую реализацию принятого колебания z(t) относить к той области , для которой апостериорная вероятность максимальна, т.е. решение в пользу принимается при совместном выполнении совокупности неравенств

.

Иначе говоря, критерий Котельникова требует максимизации апостериорной (обратной) вероятности и его можно записать в виде

. (6.3)

Для выполнения анализа (6.3) воспользуемся известной формулой Байеса

.

Тогда

,

а выражение (6.3) принимает вид

(6.4)

(безусловная плотность вероятности здесь исключена, т. к. она не зависит от i и, следовательно, не влияет на решение).

В развернутом виде критерий (6.4) можно записать в виде системы из m-1 неравенств

,

или

.

Условную плотность вероятности , рассматриваемую при известном после приема векторе как функцию аргумента b_i, называют функцией правдоподобия гипотезы о передаче сообщения b_i, а - отношением правдоподобия двух гипотез о передаче сообщений b_i и b_j. С учетом этого критерий Котельникова можно записать в виде:

если , то решение . (6.5)

Рассмотренный критерий Котельникова обладает следующими особенностями:

1. требует знания априорных безусловных вероятностей отдельных сообщений ;

2. безразличен к виду ошибок (все виды ошибок одинаково нежелательны), что приводит к росту ошибок при приеме менее вероятных сообщений, а они являются более информативными.

Критерий максимального правдоподобия

Полагая, что все передаваемые сообщения равновероятны

,

из (6.5) получим

если , то решение .

Удобно помимо гипотез о передаче сообщений b_i (i = 1, 2,…, m) ввести еще одну «нулевую» гипотезу о том, что никакое сообщение (сигнал) не передавалось, т. е. принятое колебание является реализацией только помехи . Обозначим отношение правдоподобия

,

тогда правило решения можно записать в виде

если , при всех , то решение

или

. (6.6)

Критерий (6.6) называют критерием максимального правдоподобия. Он совпадает с критерием Котельникова при равных вероятностях передаваемых сообщений.