27 Демонстрация по аналогии

Уподобления не доказывают, а лишь

объясняют доказанное. M.B. Ломоносов

Очень распространенным типом доказательства является демонстрация по аналогии(греч.analogía— соответствие, сходство). В доказательстве по аналогии обосновывается сходство двух предме­тов в каком-либо признаке на основании того, что эти предметы име­ют ряд других сходных признаков.

Например, для того чтобы доказать идею о возможности существования органической жизни на какой-либо другой планете, ученые рас­суждают так: на данной планете есть атмосфера с наличием в ней кислорода, есть вода, есть необходимая для возникновения жизни температура; на Земле есть такая атмосфера, есть вода, есть требуемая температура и есть органическая жизнь. Поскольку данная планета и Земля сходны в ряде существенных признаков, поэтому, вероятно, они сходны и еще в одном признаке — наличии органической жизни.

Схема доказательства по аналогии такова: пусть некоторый объект А обладает последовательностью свойства₁,а₂, ..., a_n+1—

А: а₁ , а₂ , а₃ , а_n ,..., а_n+1.

Второй объект В обладает набором свойств, совпадающих со свойствами объектаА, за исключениема_n+1, про который ничего не известно, —

B: a₁,a₂,a₃, ...,а_n.

Тогда из этих двух наблюдений можно сделать вывод, что и второй объект В обладает свойствома_n+1(формула 1).

Доказательство по аналогии основано на том, что предметы могут быть подобными, сходными в каких-либо свойствах, признаках или отношениях, причем такие предметы, которые в целом различны. Умозаключение по аналогии — это логический вывод, в результате которо­го достигается знание о признаках одного предмета на основании зна­ния того, что этот предмет имеет сходство с другими предметами.

Очевидно, что доказательство по аналогии не является абсолютным, оно гипотетическое. Вы только предполагаете, что второй объект об­ладает еще и дополнительным свойством. Не являясь абсолютным, в определенных случаях доказательство по аналогии бывает крайне убе­дительным. Приведем исторический пример доказательства по анало­гии, которое оказалось настолько убедительным, что под это доказа­тельство была выделена очень крупная сумма денег. Человек по имени Гаргреве отправился в Австралию в район, который называется Новый Южный Уэльс, и обнаружил там горные породы, очень напоминающие породы знаменитых калифорнийских гор, которые находятся в США. Калифорнийские горы он хорошо знал, так как неоднократно бывал там и работал. Горы в Калифорнии очень богаты минералами.

Пусть в нашем определении A — это горы в Калифорнии, аВ — это горы в Новом Южном Уэльсе. Гаргреве заметил поразительное сход­ство: олово есть и там, и там(а₁), цинк есть и там, и там(а₂), свинец есть и там, и там (a₃), железная руда есть и там, и там (а₄), и т.д.

Оценивая признаки, которые оказываются одинаковыми для этих двух горных массивов, он доходит до главного признака, который им не обнаружен, но он подозревает о его существовании. Этот признак a_n+1— наличие золота. В горах Калифорнии очень много золота. И он делает предположение, что в Австралии в породе должно быть золо­то. Он возвращается домой, пишет доклад и в этом докладе, предла­гая доказательство по аналогии, аргументирует наличие золота в Австралии. Доклад заканчивается просьбой о выделении очень круп­ной суммы денег на организацию экспедиции для поиска золота. До­казательство сочли убедительным. Деньги были выделены. Экспеди­ция отправилась в Австралию, и золото действительно нашли.

Основоположник кибернетики Н. Винер, приступая к исследова­ниям в области конструирования логических машин, вдохновлялся такой, оказавшейся очень эффективной аналогией. "С самого нача­ла, — пишет он, — я был поражен сходством между принципами дей­ствия нервной системы и цифровых вычислительных машин. Я не со­бираюсь утверждать, что эта аналогия является полной, и мы исчер­паем все свойства нервной системы, уподобив ее цифровым вычисли­тельным устройствам. Я хотел бы только подчеркнуть, что в некото­рых отношениях поведение нервной системы очень близко к тому, что мы наблюдаем в вычислительных устройствах".

О том, какую огромную роль аналогия играет в кибернетике, свидетельствует французский ученый Л. Куффиньяль. Убедившись в аналогичности двух механизмов, показывает он, предполагают, что известные функции одного механизма присущи и другому механизму, для которого их наличие не установлено. Как, например, устанавливают дозы новых лекарств для человека? По аналогии функций организ­мов животного и человека. При изучении действия лекарственного препарата сначала проводят опыты на животных и затем предполага­ют, что при назначении этого лекарства человеку результаты будут аналогичны результатам, полученным в опытах с животными.

Умозаключение по аналогии, как и любое другое умозаключение, является отображением в нашем сознании обычных отношений вещей. Человек на практике многократно наблюдал постоянство и устойчи­вость связей между признаками в предметах и явлениях внешнего мира. С течением времени эти связи признаков вещей зафиксировались в со­знании человека в виде определенной фигуры логики, которая приоб­рела аксиоматический характер. Так, человек давно заметил, что если в двух предметах или явлениях имеются какие-то общие существен­ные признаки, то вполне возможно, несмотря даже на ряд свойственных этим предметам отличительных черт, предполагать, что эти предметы об­ладают также и другими сходными признаками. Если есть корни, ствол и ветки, то, как правило, есть и листья; если тело жидкое, то в любых сообщающихся сосудах оно расположится на одинаковом уровне, хотя бы эти сосуды отличались формой; если тело хорошо проводит тепло, значит, можно ожидать, что оно хорошо проводит и электричество, и т.д.

Эта уверенность имеет и другое основание в окружающем мире: общая закономерность, которая выражается в существенных призна­ках предмета или явления, всегда встречается в связи с рядом одних и тех же постоянных устойчивых признаков, хотя условия, в которых проявляется данная общая закономерность, могут быть различными.

Привычка нашего ума к аналогии настолько сильна, что она иног­да начинает действовать как бы механически. Аналогия, как мы уже видели, основана на том, что сходные в одном отношении вещи сходны и в остальном. Привыкнув к этому, люди удивляются, что шерстяные одеяла употребляются для предохранения льда от таяния, тогда как обычно шерстяные одеяла применяются для сохранения тепла.

Такой вид аналогии часто встречается в практике самых различ­ных ученых и специалистов. Так, ботаник, замечая по некоторым при­знакам сходство какого-либо растения с известными ему представите­лями вида, относит данное растение к этому виду, предполагая, что в найденном растении есть все, еще и не исследованные видовые призна­ки. Говоря об аналогии, можно сослаться на ряд примеров из истории науки: на аналогию Ньютона между падением яблока и движением не­бесных тел, на аналогию Франклина между электрической искрой и молнией, на аналогию между распространением волн на воде и звука в воздухе и пр.

Ломоносов в одной из своих ранних работ на основании аналогии сделал вывод о том, что свет есть материя. "Один свет, — пишет он, — затемняет другой, например, солнце — свет свечи; подобно тому, как более сильный голос заглушает другой, слабый. Отсюда следует, что свет есть материя". Английский логик Джевонс говорит, что даже жи­вотные "делают заключения" до некоторой степени путем аналогии. Так, битая собака боится каждой палки, и существует очень немного собак, которые не убегут, если вы сделаете вид, будто поднимаете камень, хотя бы на этом месте не было никакого камня. Признание нормальной ана­логии между двумя системами идей, говорит Дж.К. Максвелл, "приво­дит к более глубокому знанию обеих, чем познание, которое можно было получить, изучая каждую систему в отдельности".

Аналогия благодаря своей наглядности и доступности широко используется в математике: а) при изучении десятичных дробей подчеркивается их аналогия с натуральными числами; б) свойства алгебраических дробей аналогичны свойствам арифметических (обыкновенных) дробей; в) методика решения задач на составление уравнений второй степени аналогична методике решения задач на составление уравнений первой степени; г) свойства членов геометрической прогрессии во мно­гом аналогичны свойствам членов арифметической прогрессии и т.п.

Ход умозаключения по этому виду аналогий можно записать в виде следующей формулы:

А имеет признаки а₁, а₂, а₃, х;

В имеет признаки а₁, а₂, а₃;

Вероятно, В имеет и признак х.

Возьмем такой пример: модель самолета (А) имеет такую же форму(а₁), такое же отношение веса к плоскости крыльев(а₂), такое же соотношение между весом носовой части и остальной части фюзеляжа (а₃), как и конструируемый самолет. При испытании модели в аэродинами­ческой трубе оказывается, что модель неустойчива(x). На основании аналогии (сходство модели и самолета в трех признаках) конструктор непременно сделает вывод, что самолет будет также неустойчив при полете.

Умозаключения по аналогии применяются в физике, строительстве плотин, в лингвистике, кибернетике, истории и т.д. Это, в частности, объясняется тем, что во всех областях науки начинает интенсивно внедряться моделирование, когда возможное поведение интересующих нас объектов исследуется на условных образах, аналогичных исследуемому объекту.

Под моделью(лат.modulus— мера, франц.modèle— образец) в науке понимается искусственно созданный объект в виде схемы, чер­тежа, логико-математических знаковых формул, физической конструк­ции и т.п., который, будучи аналогичен (подобен, сходен) исследуе­мому объекту (самолету, человеческому сознанию, клетке и т.д.), ото­бражает и воспроизводит в более простом, уменьшенном виде струк­туру, свойства, взаимосвязи и отношения между элементами исследу­емого объекта, непосредственное изучение которого невозможно, не­доступно или связано со значительными трудностями, большими зат­ратами средств и энергии, и тем самым облегчает процесс получения информации об интересующем нас предмете.

Исследуемый объект, по отношению к которому строится модель, называется черным ящиком, который представляет собой оригинал, об­разец, прототип, подчас не данный нам в наблюдении.

Все существующие модели обычно подразделяются на три типа: физические, вещественно-математические и логико-математические. Физические моделиимеют природу, сходную с природой изуча­емого объекта, и отличаются от него лишь размерами, скоростью тече­ния исследуемых явлений и иногда материалом.Вещественно-ма­тематическиемодели имеют отличную от прототипов физическую природу, но допускают одинаковое с оригиналом математическое опи­сание.Логико-математическиемодели конструируются из зна­ков. Это абстрактные модели, которые строятся как исчисления (лат.calculus— счет). Под исчислением понимается, таким образом, систе­ма изучения объектов внешнего мира, в которой предметам какой-либо определенной области ставятся в соответствие материальные знаки (цифры, буквы и др.), и с ними затем по принятым в системе точным правилам производятся операции, необходимые для достижения постав­ленной цели. Исчисление можно определить и как формальное устрой­ство, позволяющее получать одни последовательности символов из дру­гих путем вывода. Исчисления имеют конечный алфавит и правило вывода (С.К. Клини). Математика, возникшая шесть тысячелетий тому назад в Древнем Египте и Вавилонии, строилась прежде всего как исчисление. Только вIIIв. до н.э. Евклид впервые построил математи­ку в виде аксиоматической теории, т.е. теории, построенной из конеч­ного числа аксиом (греч.axioma— значимое, достойное уважения, при­нятое, бесспорное) — истинных суждений, которые в рамках замкну­той теорий принимаются без доказательств в качестве исходного поло­жения и которые кладутся в основу доказательства всех других поло­жений этой теории. Из аксиом с помощью заданных правил вывода дедуктивно могут быть получены содержательно истинные предложе­ния (теоремы), сформулированные на языке данной теории.

Но до сих пор в современной школе изучение математики начи­нается с нумерации и четырех действий арифметики, т.е. с оперирова­ния знаками (цифрами), что само по себе является исчислением.

В математической логике имеется несколько взаимосвязанных исчислений:

1) исчисление высказываний, изучающее логические операции с простыми высказываниями, которые объединяются в сложные высказывания с помощью логических связок, сходных с принятыми в обычной речи союзами: и (конъюнкция, в математической логике он представлен сим­волом &),или (дизъюнкция, символV),если ... то... (импликация, сим­вол),тогда и только тогда, когда (эквивалентность, символ ~), а также с отрицанием, обозначаемым частицейне (символ);

2) исчисление классов, изучающее символику Аристотеля;

3) исчисление предикатов, исследующее операции с высказыва­ниями, расчлененными на субъект и предикат;

4) исчисление отношений, исследующее логические свойства и операции над двухместными, трехместными и т.п. отношениями.

Примером модели, построенной как исчисление, может служить модель (или теория) трансформационных порождающих грамматик (ТТПГ), предложенная выдающимся американским лингвистом Н. Хомским.ТТПГ опирается на тот факт, что любой носитель естественного языка может понять подавляющее большинство предложений, которые он никогда не слышал. Следовательно, в мозгу человека существует ус­тройство, которое помогает ему понимать и воспроизводить правиль­ные фразы известного ему языка (языков) и отвергать неверные. Это устройство, как уже говорилось, называетсяcompetenceи является объек­том изучения лингвистики, так как этот объект сегодняшними сред­ствами естественных наук не может быть изучен. Ставится задача его моделирования. Под языком вТТПГпонимается множество цепочек из конечного числа элементов. Одни цепочки являются предложения­ми, другие — нет. Основная задача лингвистики определяется как уме­ние отличить грамматически правильные предложения от неправильных и исследовать структуру правильных предложений. Грамматика — это модель устройства, порождающего все правильные фразы данного языка и только их. Порождение — это не построение в мозгу правиль­ной фразы, а перечисление правильных фраз. При этом грамматичность нельзя путать с осмысленностью и вероятностью встречаемости. Так, неправильными считаются предложения типа:

1)Furiouslysleepideasgreencolorless(англ.)

2) Read you a book on modern music (англ.)

3) Je n'ai vu rien (фр.)

4) Je n'ai personne vu (фр.).

А предложение Green colorless ideas sleep furiosly (Зеленые бесцвет­ные идеи яростно спят) рассматривается как правильное. Грамматич­ными являются предложения, в которых при замене одних членов дру­гими с теми же грамматическими показателями получается правиль­ная фраза. Каждый человек в своей жизни слышал не так уж много предложений, но всегда может отличить правильную фразу от непра­вильной. Лингвист моделирует структуру такого типа на базе конеч­ного числа известных (наблюденных) правильных и неправильных предложений. В качестве примера могут быть рассмотрены следующие правила порождения, предлагаемые вТТПГ:

(I) S  NP+ VP (S — предложение,NP— группа существитель­ного,VР — глагольная группа)

(II) NP  Det +N

(III) VP  V+ NP

(IV) Det  the

(V) N  man, ball...

(VI)Vhit,took…

С помощью этих правил можно образовать правильную английскую фразу: The manhit the ball ( "Мужчина ударил по мячу"):

S

NP + VP (I)

Det + N + VP (II)

Det + N + V + NP (III)

the + N + V + NP (IV)

the + man + V + NP (V)

the + man + hit + NP (VI)

the + man + hit + Det + N (II)

the + man + hit + the + N (IV)

the + man + hit + the + ball (V)

Предложения типа The man hit the ball называются ядерными, так как являются следствием прямого вывода. Из ядерных предложений по специальным правилам можно получить пассивные, вопросительные фразы и т.д.

Все правила делятся на Р-правила (правила структуры составляю­щих) иT-правила (трансформационные правила).

А  В (Р- правила: заменитьА наВ, илиА В, или "A" is"В");

А В (Т- правила: т.е.В выведено изА).

Р-правила бывают двух видов: контекстно-свободные (context-free) и контекстно-связанные (context-restricted). Правило называется контекстно-связанным, если оно устанавливает, что символА может быть заменен символомВ, только если находится в окруженииX —Y, т.е.X предшествуетА ,aY непосредственно следует заА:

А ®В / X — Y.

Все остальные правила — контекстно-свободные. Действие P-пра­вил определяется следующими требованиями:

1) каждое правило должно развертывать один символ;

2) каждый развертываемый символ (за исключением начального) должен входить и в правую часть какого-либо правила;

3) ни один символ не может заменяться пустым символом (т.е. опускаться);

4) результирующая цепочка должна быть отлична от начальной, т.е.

А↛ Х + A + Y;

5) для любой пары символов в грамматике не может одновременно содержаться пара правил: А ®В;В ®А.

S

NP VP Adv

Det N V NP

Det N

a girl cut the flower yesterday

ься пара правил: А ® В; В ® А.

Вывод по Р-правилам может быть представлен в виде дерева. Например:

T-правила — это правила подстановки видаА ÞВ. ЕслиР-правила переводят одни цепочки в другие, тоT-правила переводят одни дере­вья в другие деревья.T-правила делятся на обязательные (Tob) и фа­культативные (Topt).

Например, Topt:NP+ VP+ Adv ÞAdv+ NP+ VP (факультативно наречие из конца предложения может быть перенесено в начало).

Левая часть трансформации (T-правила) называется структурным описанием (structuraldescription), правая — структурным изменением (structuralchange), а сама подстановка — операцией. Операции мо­гут быть элементарными или представлять собой комбинацию элемен­тарных операций. Элементарными операциями являются: 1) добавле­ние (addition); 2) опущение (omission); 3) перестановка (permutation); 4) субституция (substitution).

Примеры:

1. X + Y ÞХ+ Y +Z(добавление)

2. X+ Y Þ Y(опущение)

3) Х+ Y+ Z ÞX +Z + Y (перестановка)

4) Х+ В + С Þ X + D + C, гдеD может быть только терминальным, т.е. конечным символом.

Правила могут комбинироваться. Например:

B + C + D ÞD + C (перестановка и опущение).

Пример применения трансформационного правила (факультатив­ный перенос наречия в начало предложения, см. рис. ниже).

Правила оперируют с символами, превращая их в цепочки и де­ревья.

Все символы делятся на основные (словарные) и вспомогательные. Словарные символы состоят из символов классов, которые репрезенти­руют составляющие высоких рангов — NP, VP и т.д., и морфемных символов, которые представляют собой составляющие низших рангов —man, hit и т.д. Начальный символS—sentence(предложение), который относится к основным, задается до первого правила, он определяет гра­ницы порождающей грамматики. Среди морфемных символов разли­чают символы грамматических морфем (морфемыPres,Pastи т.д.) и сим­волы лексических

S S

NP VP Adv Adv NP VP

Det N V NP Topt Det N V NP

Det N permutation Det N

a girl cut the flower yesterday yesterday a girl cut the flower