Вторая подстановка

Используется тогда, когда   . Производится замена:

Третья подстановка

Используется тогда, когда подкоренное выражение имеет два действительных корня. Производится замена:  , где   — один из корней.

27. Интегрирование тригонометрических функций: простейшие случаи: интегралы вида ; частные случаи. Интегралы вида . Примеры.

28. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Римана.

17.1.1. Задача о площади криволинейной трапеции

 О: Под криволинейной трапецией пониматся фигура , которая имеет границу

 

 

в данном случае является непрерывной (рис. 17.1).

Вычислим площадь криволинейной трапеции. Для этого следует разделить отрезок с помощью точек на элементарных отрезков . Отметим определим случайные точки и отобразим ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников с высотами и основаниями . Площадь ступенчатой фигуры и определяет приблизительное значение площади криволинейной трапеции. В качестве точного значения площади запишем

27. Понятие определенного интеграла Римана. Геометрический и механический смысл определенного интеграла. Необходимое условие интегрируемости и его необратимость.

    Определения[править | править вики-текст]

    Через интегральные суммы[править | править вики-текст]

Пусть на отрезке   определена вещественнозначная функция  .

Рассмотрим разбиение отрезка   — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок   на n отрезков  . Длина наибольшего из отрезков   называется шагом разбиения, где   — длина элементарного отрезка.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке  . Интегральной суммой называется выражение  .

Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора  , то это число называется интегралом функции   на отрезке  , то есть  .

В этом случае, сама функция   называется интегрируемой (по Риману) на  ; в противном случае   является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке  .

27. Суммы Дарбу и их свойства. Геометрический смысл сумм Дарбу.

27. Критерий интегрируемости. Классы интегрируемых функций (непрерывные, ограниченные с конечным числом точек разрыва, монотонные). Теорема об интегрируемости модуля функции. Основные свойства определенного интеграла, выражаемые равенствами.

28. Основные свойства определенного интеграла, выражаемые неравенствами. Теорема о среднем значении для определенного интеграла.

29. Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом. Теорема Барроу (о производной интеграла по переменному верхнему пределу). Следствия.

Теорема Барроу

Теорема (Барроу):

Пусть   и непрерывна в  . Тогда   дифференцируема в этой точке и её производная равна  .

Доказательство:

Приращение   при   в силу непрерывности в точке   выполняется  Рассмотрим  . По первому утверждению получаем  Устремляя  , получаем

27. Формула Ньютона-Лейбница. Замечание о связи между определенным и неопределенным интегралами от функции f. Метод интегрирования по частям для определенного интеграла. Примеры.