Вертикальная[править | править вики-текст]

Вертикальная асимптота — прямая вида   при условии существования предела  .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

1. 

2. 

Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.

Горизонтальная[править | править вики-текст]

Горизонтальная асимптота — прямая вида   при условии существования предела

.

Наклонная[править | править вики-текст]

Наклонная асимптота — прямая вида   при условии существования пределов

Пример наклонной асимптоты

1. 

2. 

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот.

Замечание: если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен  ), то наклонной асимптоты при   (или  ) не существует.

27. Общая схема исследования функции и построения графика с помощью производной. Примеры.

28. Отыскание наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке и на промежутке, не являющемся отрезком (постановка задачи, схема ее решения, примеры). Понятие глобального экстремума. Решение прикладных задач на экстремум. Примеры.

1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и своего наибольшего, и своего наименьшего значений (Эта теорема доказывается в курсе высшей математики).

2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.

3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.

27. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла. Теорема об общем виде первообразной. Геометрическая интерпретация неопределенного интеграла. Примеры.

Определение первообразной. Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство   для любого х из заданного промежутка. Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство  . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла. Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается  .

Выражение   называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

27. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Примеры.

Определение первообразной и неопределенного интеграла

Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если

F′(x)=f(x).

Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается как

∫f(x)dx.

Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение

∫f(x)dx=F(x)+C,

• ∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx

• ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx

• ∫f(ax)dx=1aF(ax)+C

• ∫f(ax+b)dx=1aF(ax+b)+C

∫adx=ax+C	∫xdx=x22+C
∫x2dx=x33+C	∫xpdx=xp+1p+1+C
∫dxx=ln|x|+C	∫exdx=ex+C
∫bxdx=bxlnb+C	∫sinxdx=−cosx+C
∫cosxdx=sinx+C	∫tanxdx=−ln|cosx|+C
∫cotxdx=ln|sinx|+C	∫secxdx=ln∣∣tan(x2+π4)∣∣+C
∫cscxdx=ln∣∣tanx2∣∣+C	∫sec2xdx=tanx+C
∫csc2xdx=−cotx+C	∫secxtanxdx=secx+C
∫cscxcotxdx=−cscx+C	∫dx1+x2=arctanx+C
∫dxa2+x2=1aarctanxa+C	∫dx1−x2=12ln∣∣1+x1−x∣∣+C
∫dxa2−x2=12aln∣∣a+xa−x∣∣+C	∫dx1−x2−−−−−√=arcsinx+C
∫dxa2−x2−−−−−√=arcsinxa+C	∫dxx2±a2−−−−−√=ln∣∣x+x2±a2−−−−−−√∣∣+C
∫dxxx2−1−−−−−√=arcsec|x|+C	∫sinhxdx=coshx+C
∫coshxdx=sinhx+C	∫sech2xdx=tanhx+C
∫csch2xdx=−cothx+C	∫sechxtanhxdx=−sechx+C
∫cschxcothxdx=−cschx+C	∫tanhxdx=lncoshx+C