Понятие производной функции в точке. Примеры.
Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Пусть
в некоторой окрестности точки 
определена функция 
Производной
функции называется такое число 
,
что функцию в окрестности 
можно
представить в виде
если существует.
Задачи, приводящие к понятию производной.
Задача (о касательной к графику функции). Дан график функции y=f(x). На нем выбрана точка M(a;f(a)), в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.
Решение . Дадим аргументу приращение Δx и рассмотрим на графике точку P с абсциссой a+Δx. Ордината точки P равна f(a+Δx). Угловой коэффициент секущей MP, т. е. тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется по формуле kсек=ΔyΔx.
Если мы теперь устремим Δx к нулю, то точка P начнет приближаться по кривой к точке M. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной kкас=limΔx→0kсек будет вычисляться по формуле kкас=limΔx→0kсек. Используя приведенную выше формулу для kсек, получаем:
kкас=limΔx→0ΔyΔx
Производная функция. Производные элементарных функций: степенной, показательной, логарифмической, синуса и косинуса.
Таблица производных
Дифференцируемость. Критерий дифференцируемости. Дифференциал. Необходимое условие дифференцируемости.
Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.
Приращение дифференцируемой в данной точке функции можно представить как линейную функцию приращения аргумента с точностью до величин более высокого порядка малости. Это означает, что для достаточно малых окрестностей данной точки функцию можно заменить линейной (скорость изменения функции можно считать неизменной). Линейная часть приращения функции называется еедифференциалом (в данной точке).
Необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости является непрерывность функции. В случае функции от одной вещественной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. В случае функции нескольких вещественных переменных необходимым (но не достаточным) условием дифференцируемости является существование частных производныхпо всем переменным. Для дифференцируемости функции нескольких переменных в точке достаточно, чтобы частные производные существовали в некоторой окрестности рассматриваемой точки и были непрерывны в данной точке.[1]