1. Метод конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод решения дифференциальных уравнений с частными производными, а также интегральных уравнений, возникающих при решении задач прикладной физики. Метод широко используется для решения задач механики деформируемого твёрдого тела (сопромата), теплообмена, гидродинамики и электродинамики.

1.1 Идея метода

Суть метода следует из его названия. Область, в которой ищется решение дифференциальных уравнений, разбивается на конечное количество подобластей (элементов). В каждом из элементов произвольно выбирается вид аппроксимирующей функции. В простейшем случае это полином первой степени. Вне своего элемента аппроксимирующая функция равна нулю. Значения функций на границах элементов (узлах) является решением задачи и заранее неизвестно. Коэффициенты аппроксимирующих функций обычно ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах между элементами (в узлах). Затем эти коэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов. Составляется система линейных алгебраических уравнений. Количество уравнений равно количеству неизвестных значений в узлах, на которых ищется решение исходной системы, прямо пропорционально количеству элементов и ограничивается только возможностями ЭВМ. Так как каждый из элементов связан с ограниченным количеством соседних, система линейных алгебраических уравнений имеет разрежённый вид (Разреженная матрица —матрица с преимущественно нулевыми элементами), что существенно упрощает её решение.

С точки зрения вычислительной математики, идея метода конечных элементов заключается в том, что минимизация функционала вариационной задачи осуществляется на совокупности функций, каждая из которых определена на своей подобласти, для численного анализа системы позволяет рассматривать его как одну из конкретных ветвей диакоптики — общего метода исследования систем путём их расчленения.

1.2 Преимущества и недостатки

Метод конечных элементов сложнее в реализации метода конечных разностей. У МКЭ, однако, есть ряд преимуществ, проявляющихся на реальных задачах: произвольная форма обрабатываемой области; сетку можно сделать более редкой в тех местах, где особая точность не нужна.

Долгое время широкому распространению МКЭ мешало отсутствие алгоритмов автоматического разбиения области на «почти равносторонние» треугольники (погрешность, в зависимости от вариации метода, обратно пропорциональна синусу или самого острого, или самого тупого угла в разбиении). Впрочем, эту задачу удалось успешно решить (алгоритмы основаны на триангуляции Делоне), и последний бастион на пути к полностью автоматическим конечноэлементным САПР пал.

1.3 Системы анализа, основанные на методе

Наиболее распространёнными вычислительными системами, основанными на методе конечных элементов являются:

ANSYS — универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором;

FEM Models - система конечно-элементного анализа, преимущественно для решения геотехнических задач;

MSC.Nastran — универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором MSC.Patran;

ABAQUS — универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором;

DEFORM-2D/3D - система КЭ анализа для моделирования технологических процессов обработки давлением и резанием;

Impact — универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором;

LS-DYNA - универсальная система нелинейного динамического КЭ анализа;

NEiNastran — универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором FEMAP;

NXNastran — универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором FEMAP;

SAMCEF — универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором SAMCEF Field.

Temper-3D — система КЭ анализа для расчёта температурных полей в трёхмерных конструкциях (теплотехнический расчёт). 52

COMSOL Multiphysics (англ.)русск. [1] — универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором.

NX Nastran — универсальная система МКЭ анализа.

Zebulon — универсальная система МКЭ анализа с расширенной библиотекой нелинейных моделей материалов.

[править]

Программное обеспечение, реализующее метод

Ani2D

ANSYS

Code_Aster

Comsol Multiphysics (англ, Прежнее название FEMlab)

Deal.II

DSM FEM

DEFORM-2D/3D

Impact -- Dynamic Finite Element Program Suite

Elcut или QuickField

FEM Models

Elmer FEM solver

Femap

FloEFD

FreeFEM++

GetDP

LibMesh

LS-DYNA

Maxwell (Ansoft)

MicroFe [2] [3]

Nastran

NX Advanced Simulation

QForm 2D/3D

RFEM (Ing. Software Dlubal)[4]

SCAD [5]

SOFiSTiK [6]

STARK ES (Россия) [7]

Z88 Сврободно распространяемая система с исходным кодом (лицензия GNU-GPL)[8]

ПК Лира

MicroFe [9]