Вторая итерация
Шаг 2.
Найдем соответствие вершины графа, имеющей новую постоянную метку, т.е. Г(x7), а это – множество вершин, являющихся конечными вершинами дуг, у которых начальной вершиной является x7:
Г(x7) = {x2, x4, x6, x9}. У этого множества вершин все пометки временные, равные ∞. Найдем постоянную пометку, для чего сначала находим пометки для каждой из этих вершин x2, x4, x6, x9 по зависимости: , тогда:
l(x2) = min[l(x2), l(x7)+c(x7,x2)] = min[∞, 3 + 2] = 5;
l(x4) = min[l(x4), l(x7)+c(x7,x4)] = min[∞, 3 + 4] = 7;
l(x6) = min[l(x6), l(x7)+c(x7,x6)] = min[∞, 3 + 14] = 17;
l(x9) = min[l(x9), l(x7)+c(x7,x9)] = min[∞, 3 + 24] = 27.
Перевод пометок из временных в постоянные.
Шаг 3.
Среди всех вершин с временными пометками найти такую, для которой выполняется условие: , т.е.
min[l(x2), l(x4), l(x6), l(x9), l(x3), l(x5), l(x8)] = min[5, 7, 17, 27, ∞, ∞, ∞,] =
= 5 = l(x2)
Шаг 4. Вершина графа x2 получает постоянную пометку
5+ = l(x2), а
p = x2
Шаг 5. Постоянной пометкой помечены только три вершины: x1, x2 и x7, но если не все вершины отмечены как постоянные, то требуется все повторить начиная со второго шага. Пометки в начале третий итерации показаны на рис. б)
б) 5+ ∞
3+
7
0+
12 ∞
6 ∞
Третья итерация
Шаг 2.
Найдем соответствие вершины графа, имеющей новую постоянную метку, т.е. Г(x2), а это – множество вершин, являющихся конечными вершинами дуг, у которых начальной вершиной является x2:
Г(x2) = {x1, x3, x7, x9}. Из этого множества только вершины x3, и x9 имеют пометки временные, равные ∞.
l(x3) = min[l(x3), l(x2)+c(x2,x3)] = min[∞, 5 + 18] = 23;
l(x9) = min[l(x9), l(x2)+c(x2,x9)] = min[∞, 5 + 13] = 18.
Перевод пометок из временных в постоянные.
Шаг 3.
min[l(x2), l(x4), l(x6), l(x8), l(x9), l(x5)] = min[23, 7, 17, 6,18, ∞,] =
= 6 = l(x8)
Шаг 4. Вершина графа x2 получает постоянную пометку
6+ = l(x8), а
p = x8
Шаг 5. Постоянной пометкой помечены только три вершины: x1, x2, x7 и x8 но если не все вершины отмечены как постоянные, то требуется все повторить начиная со второго шага. Пометки в начале четвертой итерации показаны на рис. в)
в)
б) 5+ ∞
3+
7
0+
12 ∞
6 ∞
Четвертая итерация
Таким образом, все вершины графа помечены постоянными пометками.
Окончательная пометка вершин и x1-база
5+ 23+
3+
7+
0+
11+ 17+
6+ 12+
Алгоритм Дейкстры для вычисления дерева кратчайших путей
(псевдоязык Паскаля)
Вход: огргаф G(V,E) Заданный матрицей длин дуг C: array [1…p, 1…p] of real и списками смежности Г; s - исходная вершина графа.
Выход: вектор T: array [1…p] of real длин кратчайших путей от s.
for
u
V
do
T[u] := C[s,u] {начальное приближение определяется матрицей}
X[u] := 0 {все вершины не отмечены}
end for
for i from 1 to p do
m:=∞ {поиск конца нового кратчайшего пути}
for u V do
if X[u] := 0 & T[u] < m then
v:=u, m:= T[u] {вершина u заканчивает новый кратчайший путь из s}
end if
end for
for u Г do
T[u]:= min(T[u], T[v] + C[v,u]) {пересчет оценки длины пути из s в u через v}
end for
X[v]:= 1 {найден кратчайший путь s в v }
end for
Алгоритм, как и алгоритм Форда-Беллмана, основан на идее:
- на очередном шаге нужно выбрать вершину v, до которой точно знаем кратчайший путь от s, и пересчитать оценки путей для вершин, смежных с v. На первом шаге для вершины s T[s]=0
Трудоемкость алгоритма Дейстра составляет n2.