Вопрос 13. Пересечение плоскости с гранным геометрическим телом и с цилиндром. Построение проекций и натуральной величины наклонного сечения проецирующей плоскостью.

Сечение гранного тела.

Сечение цилиндра.

Если секущая плоскость будет проходить через образующие, то в сечении получим параллельные прямые, если через направляющие, то - окружность. Все остальные сечения цилиндра будут эллипсами. Построение сечения цилиндра фронтально проецирующей плоскостью рассмотрено на рис. 8.2.

  Натуральную величину сечения построим по точкам. Отметим на чертеже точки, соответствующие большой АВи малойCDосям эллипса

Вопрос 14. Наклонные сечения конуса и шара. Построение проекций и натуральной величины наклонного сечения проецирующей плоскостью.

Сечение конуса.

Если секущая плоскость будет проходить через образующую (прямую), то в сечении получим треугольник, если через направляющую (окружность) - окружность.    Все остальные сечения кругового конуса будут лекальными кривыми второго порядка, а именно: - эллипсом, когда секущая плоскость пересекает все образующие конуса; - параболой - секущая плоскость параллельна одной из образующих; - гиперболой - секущая плоскость параллельна двум образующим.

На рис. 8.4 выполнен чертеж конуса, и показана секущая плоскостьБ-Б, которая пересекает все образующие данного конуса. Следовательно, фигура сечения будет ограничена эллипсом, а отрезокА₂B₂является его фронтальной проекцией

 Натуральную величину сечения можно построить по законам построения эллипса. Для этого на оси хоткладываем большую ось эллипсаАВи малуюCD. Причем, малая ось эллипса определяется как хорда (CD) параллели, делящей пополам фронтальную проекцию сечения.

Сечение шара.

Как известно, любое сечение шара плоскостью является кругом. В зависимости от положения секущей плоскости, окружность, ограничивающая фигуру сечения, может спроецироваться в: - окружность, если секущая плоскость параллельна плоскости проекций; - отрезок прямой, если секущая плоскость перпендикулярна плоскости проекций; - эллипс, если секущая плоскость наклонена к плоскости проекций. Так как сечение шара - круг (рис. 8.7), то построение его натуральной величины сводится к определению радиуса окружности. Участок линии сеченияА₃В₃является диаметром этой окружности. Поэтому для построений на новую осьх₁линиями связи переносятся точкиОиВ, после чего радиусом, равным расстоянию между ними, проводится окружность - граница фигуры сеченияА-А.

Билет 15. Построение проекций и натуральной величины наклонного сечения плоскостью общего положения на примере многогранника и конуса.

См. билет 13 и 14.

Билет 16. Построение точки пересечения прямой с поверхностью вращения. Пересечение многогранника с поверхностью вращения на примере соосных конуса и шестигранной призмы.­­(зад.56,59)

Построение точки встречи прямой общего положения с проецирующей поверхностьюНайдем точки встречи прямойdсцилиндрической поверхностью, заданной направляющей1и образующейs(рис.7.9).    Как видно из чертежа, поверхность цилиндра является горизонтально проецирующей. Следовательно, горизонтальные проекции всех точек, принадлежащих поверхности, совпадут с1₁- проекцией цилиндрической поверхности на плоскостьП₁. Поэтому на пересечении1₁иd₁отмечаемА₁иВ₁, которые и будут горизонтальными проекциями точек встречи прямой и поверхности.    Фронтальные проекцииА₂иВ₂искомых точек построим при помощи линий связи наd₂- фронтальной проекции прямой.

Построим точки встречи прямой1споверхностью сферы. Заключим прямую1в горизонтально проецирующую плоскостьГ(Г₁1₁). Эта плоскость пересечет сферу по окружности, которая на плоскостьП₂спроецируется в эллипс с большойС₂D₂и малойЕ₂F₂осями. В пересечении фронтальной проекции1₂прямой1с эллипсом получимА₂иВ₂-фронтальные проекции искомых точек.    Приведенное решение является недостаточно точным, так как сам эллипс надо строить по точкам. Более точно эту задачу можно решить методом проецирования на дополнительную плоскость (рис.7.12).    Построим третью проекцию на плоскостьП₄, параллельную плоскостиГ. В новой системе плоскостей проекцийП₄П₁построимО₄и1₄- проекции центра шара и прямой1на плоскостьП₄. НаП₄окружность сечения спроецируется неискаженно в виде окружности радиуса1₄2₄. Пересечение этой окружности с1₄дает проекцииА₄иВ₄искомых точек, имея которые, легко построить их горизонтальныеА₁,В₁и фронтальныеА₂,В₂проекции.

Пример построения точек встречи горизонтальной прямой1споверхностью тора.    Искомые точкиА(А₁,А₂),B(В₁,В₂),C(С₁,С₂),D(D₁,D₁) найдены при помощи вспомогательной горизонтальной плоскости(₂), которая рассекает поверхность тора по параллелям радиусовО₁иО₂. Количество точек пересечения прямой с поверхностью в общем случае определяет порядок поверхности. Действительно, тор - поверхность четвертого порядка, и прямая пересекает его поверхность в четырех точкахA,B,C,D.    В приведенных примерах в качестве вспомогательных плоскостей использовались проецирующие плоскости. Рассмотрим ряд случаев, в которых более целесообразно в качестве вспомогательных плоскостей использовать плоскости общего положения.    Построим точки встречи прямой1споверхностью конуса(рис.7.14). Конус задан своей вершинойS(S₂,S₂) и направляющейk, лежащей в плоскости.    В данном случае применять вспомогательные проецирующие плоскости не рационально, так как эти плоскости не дадут графически простых линий сечения. Если же провести вспомогательную плоскость через прямую1и вершинуSконуса, то такая плоскость (общего положения) даст в сечении конуса графически простые линии - образующие.    Возьмем на прямой1произвольную точкуОи, соединив ее с вершинойSконуса, определим плоскостьГ(1t, проходящую через прямую1и вершинуSконуса.  ПлоскостьГпересечет плоскостьоснования, в которой лежит направляющаяkконуса, по прямой12(1₁2₁,1₂2₂). Пересечение прямой1₂с направляющейkконуса даст точкиDиЕ, через которые проводим образующиеSDиSE. Пересечение этих образующих с прямой1даст искомые точки:1SD=A;1SE=В. В случае пересечения соосныхконуса и шестигранной призмы

Билет 17. Построение проекций линии пересечения поверхностей методом плоскостей-посредников.(зад.63)

Этот метод используется при пересечении поверхностей вращения с параллельными осями.

Билет 18. Теорема о пересечении соосных поверхностей вращения. Построение проекций линии пересечения поверхностей методом концентрических сфер-посредников.

Линия пересечения таких поверхностей строится на основании теоремы о пересечении соосных поверхностей вращения: соосные поверхности вращения пересекаются между собой по окружностям.

Пр.цилиндр и сфера.