2. Методика вивчення алгебраїчного матеріалу.

Алгебраїчний матеріал було введено в 1968 році, коли в початкових школах стала викладатися математика, замість арифметики.

Основними завданнями вивчення алгебраїчного матеріалу є:

- підготовка до вивчення систематичного курсу алгебри;

- узагальнення арифметичного матеріалу;

- розвиток абстрактного мислення.

До алгебраїчного матеріалу відносяться – вирази, рівняння, нерівності, буквена символіка, розв’язування задач складанням виразу, функціональна пропедевтика.

Найпростіші числові вирази: сума, різниця, добуток і частка вводяться під час ознайомлення з діями і тільки у третьому класі розглядається більш ускладнені, звертається увага на різні способи читання.

Види завдань з числовими рівностями та нерівностями та способи їх розв'язування:

1) Порівняти і поставити пропущені знаки „>", „<" або „=".

3 + 7.... 3 + 9 2 + 2 + 2 + 2.....2 · 4

2) Порівняти і поставити знак арифметичної дії

35 + 4 < 35 ... 10 40 – 3 > 3...9

27 ... 3 = 10-1 24-5 < 24 ...7

3) Порівняти і підібрати пропущене число

21 – 8 > 21 - ... 45 : 5 < 45 : ...

27 + 3 = 90 : ... 6 · (10 + 2) = 6 · 10 + 6 · ...

Розв'язування вправ організовують двома способами: обчисленням або на основі залежностей між результатами і компонентами арифметичних дій. Наприклад. Порівняти і поставити пропущений знак: 27 – 3 ... 27 – 6.

Перший спосіб. Виконуємо дії 27 – 3 = 24, 27 – 6 = 21; порівнюємо результати дій. 24 > 21. Висновок: 27 – 3 > 27 – 6.

Другий спосіб. Порівняємо вирази: 27 - 3 і 27 - 6. У обох виразах виконується дія віднімання, зменшувані однакові. Вирази відрізняються від'ємниками. 3 < 6, якщо від однакових чисел відняти менше число, то отримаємо більше число. Висновок: 27 – 3 > 27 – 6.

У 1–2 класах виконуються вправи з "віконцями", що є підготовкою до розв'язування рівнянь. Розв'язуються ці вправи способом підбору.

Наприклад. Замість „віконця" підібрати число так, щоб рівність була правильною (на основі складу числа, або на основі правила на знаходження невідомого компонента).

 + 3 = 5 10- = 3  +  = 7

У третьому класі учні ознайомлюються з рівняннями. Визначення рівняння не дається. Учні повинні пізнавати рівняння та розв'язувати їх двома способами, а саме, підбором або на основі залежностей між результатами та компонентами арифметичних дій. У процесі розв'язування рівнянь учні користуються пам'яткою.

1. Назвати, що невідомо і що відомо в рівнянні.

2. Пригадати правило, як знайти невідоме число.

3. Знайти невідоме число виконавши арифметичну дію.

4. Зробити перевірку.

5. Назвати, чому дорівнює невідоме число.

Запис розв'язування рівнянь:

Перший спосіб розв'язування Другий спосіб розв'язування

х + 7 = 15 х – 13 = 24

х = 8____ х – 13 = 24

8 + 7 = 15 х = 37_____

15 = 15 37 – 13 = 24

24 = 24

У початковій школі складанням рівнянь розв'язуються лише прості задачі.

Наприклад. Задача. У кошику було 10 груш і кілька яблук, всього 14 фруктів. Скільки було яблук?

Позначимо кількість яблук буквою х. Якщо груш 10 і яблук х, то яким виразом можна записати кількість фруктів у кошику? (10 + х). За умовою задачі скільки фруктів? Запишемо рівняння 10 + х = 14.

Розв'язування нерівностей із змінною не є обов'язковою вимогою програми. Нерівності розглядаються у порядку ознайомлення. Термін „розв'язати нерівність" не вводиться. На підготовчому етапі розглядаються:

1) Вправи з „віконцями". Наприклад. Замість „віконця" підібрати число так, щоб нерівність була правильною.

 – 5 < 3;  + 4 > 8; 17 –  < 3

2) Добери такі числа, щоб нерівності і рівності були правильними.

4 · 4 + 4 = 4 · ; 6 · 3 < 6 · 

Вперше нерівність із змінною розглядаються у третьому класі. В основному вправи розглядаються способом підбору.

Наприклад.

1) З чисел 85, 70, 75 і 80 випиши ті значення х, за яких нерівність правильна.

х : 5 < 16

Бесіда. Підставимо числові значення букви х у нерівність, обчислимо частку і порівняємо результат з числом 16.

а) 85 : 5 = 17; 17 > 16, число 85 не підходить.

б) 70 : 5 = 14; 14 < 16, число 70 підходить.

2) Знайти два значення х, щоб нерівність х : 3 > 1 була правильною.

Такі вправи складніші, учні повинні підібрати самостійно числа.

Для формування понять постійної і змінної величини потрібно проводити бесіди по заповненій таблиці.

Наприклад. Заповнити таблицю.

А	5 5 5 5 5 5
В	1 2 4 8 6 7
А + В

Після заповнення таблиці проводиться бесіда. Назвіть, які значення приймає перший доданок? Порівняйте. Висновок: перший доданок не змінюється. Які значення приймає другий доданок? Порівняйте. Як змінюється? Порівняйте значення в другому, третьому, четвертому стовпчику. Як змінюється сума? Як можна замінити таблицю в три рядки на таблицю в два рядки?

У процесі розв'язування задач з пропорційними величинами учні установлюють, яка величина змінюється, а яка постійна. Учитель ознайомлює учнів з функціональною залежністю в неявному виді.

Молодші школярі зустрічаються в початковому курсі математики з лінійною, прямо пропорційною та оберненою пропорційною залежностями. Студент може розкрити одну з цих залежностей.

Наприклад. Лінійна залежність. Знаходження значень виразів виду 3 · а + 5; 20 — а · 3 є знаходження значень функції для даних значень аргументів. Аргументом виступає змінна а, функцією - вираз з цією змінною. Бажано посилити увагу до випадків впорядкованої множини.

Вправа. Знайдіть значення виразу 20 – а · 3, якщо а набуває значень 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Побудуйте таблицю.

а	0	1	2	3	4	5	6
20 – а · 3	20	17	14	11	8	5	2

Бесіда. Яке найменше значення змінної а? Найбільше? Як змінюється значення а? Як змінюється при цьому значення виразу 20 – а · 3? Якщо а дорівнює 3, то яке значення виразу?

Лінійна залежність спостерігається в процесі зміни результатів дій першого ступеня від зміни одного з компонентів, розв'язування простих задач на додавання та віднімання.

У процесі використання буквеної символіки відбувається:

1) узагальнення розв'язування простих задач, тобто а + в = с, а – в = с, а : в = с;

2) узагальнюються випадки дій, пов'язаних з числами 0 і а:

а · 1 = а, а : а = 1, а : 1 = а, а = 0 = а, а - а = 0, 0 · а = 0, 0 : а = 0.

3) запис властивостей арифметичних дій: а + в = в + а;

а + в + с = а + (в + с); а · (в · с) = (а · в) · с і т. д.