Вопрос 35. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Метод решения.

1. С разделяющимися переменными

M(x)*N(y)*dy=P(x)*Q(y)*dx

Решение:

1. Делят обе части на выражение M(x)*Q(y)

N(y)/Q(y) dy= P(x)/ M(x) dx

2. Интегрируем обе части:

∫ (N(y)/Q(y) ) dy = ∫ (P(x)/ M(x) ) dx

𝝋(y) = Ψ(x)+C - общий интеграл

2. Однородные д.у. 1-го порядка

Это д.у. вида y’=f(x,y), где функция f(x,y) является однородной, т.е. выполняется равенство f(tx,ty)=f(x,y)

Решение находят с помощью замены

Y=tx; t= y/x; y’=t’x+tx’=t’x+t

Уравнение примет вид:

t’x+t=f(x,t)

это уравнение как правило с разделяющимися переменными, в общем интеграле которого делают обратную замену.

Вопрос 36. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли. Методы решения.

Это уравнение вида y’+p(x)y=q(x), где p(x),q(x)-некоторые функции

Решение ищем в виде:

y(x)=U(x)V(x), где

V(x)= e ^ ( - ∫p(x)dx)

U(x)= ∫ q(x) * e ^ ( ∫p(x)dx) dx

Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид:

Y’+p(x) *y= q(x) y^n

Очевидно – уравнение Бернулли по общей структуре напоминает линейное неоднородное уравнение первого порядка.

Характерным признаком, по которому можно определить уравнения Бернулли, является наличие функции «игрек» в степени «эн»: y^n  

Если n=0  или n=1, то уравнение Бернулли превращается в уравнения, которые вы уже должны уметь решать.

Целая степень n  может быть как положительной, так и отрицательной (во втором случае получится дробь), кроме того, n  может быть обыкновенной дробью, например y ^ (1/2) = √y .

Как и линейное неоднородное уравнение первого порядка, уравнение Бернулли может иметь вид:

1. r(x)y’+p(x)*y= q(x) y^n r(x)y’+y= q(x) y^n

2.

Y’+y =q(x) y^n

3.

Y’+p(x) *y = y^n

Вопрос 37. Уравнение в полных дифференциалах. Метод решения

Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах это уравнения вида 

Если выполняется условие:   (1) то выражение:    является дифференциалом некоторой функции:    Тогда:   (2) Исходное уравнение:   (3) принимает вид:  dU = 0  Отсюда получаем его интеграл:  U = C

Пример

Проверить, является ли уравнение уравнением в полных дифференциалах: 

Решение

Здесь    Дифференцируем по y, считая x постоянной:        Дифференцируем по x, считая y постоянной:        Поскольку:  ,  то заданное уравнение - в полных дифференциалах.

Вопрос 38. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

Примеры решений:

Вопрос 39. Линейно независимая на интервале система функций. Вронскиан. Примеры. Необходимое условие линейной зависимости системы функций.

Определение. Если из функций y_i составить определитель n – го порядка , то этот определитель называется определителем Вронского. ( Юзеф Вроньский (1776 – 1853) – польский математик и философ - мистик) Теорема. Если функции   линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю. Теорема. Если функции  линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.