Вопрос 4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Пусть имеем поверхность, заданную уравнение вида f(x,y,z)=0

Опр: прямая линия называется касательной к поверхности в некоторой точке P(x,y,z), если она является касательной к какой либо кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку Р.

Опр: плоскость в которой расположены все касательный прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную ее точку Р , называется касательной плоскостью к поверхности в точке Р.

Если в точке М(x,y,z) все три производные ∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z равны нулю или хотя бы одна из этих производных не существует, то точка М называется особой точкой поверхности. Если в точке М(x,y,z) все три производные dF/dx, dF/dy, dF/dz существуют и непрерывны, причем хотя бы одна из них отлична от нуля, то точка М называется обыкновенной точкой поверхности.

Напишем уравнение касательной плоскости к поверхности в обыкновенной точке. Так как эта плоскость перпендикулярна вектору, то следовательно, ее уравнение имеет вид

∂F/∂x (X – x)+ ∂F/∂y(Y – y)+ ∂F/∂z (Z – z)=0

Опр: прямая, проведенная через точку P(x,y,z) поверхности перпендикулярно к касательной плоскости, называется нормалью к поверхности. Напишем уравнение нормали. Так как ее направление совпадает с направление вектора N, то ее уравнения будут иметь вид:

X-x/∂f/∂x= Y-y/∂F/∂y= Z-z/∂F/∂z

Вопрос 5. Экстремум функции двух переменных.

Опр: точка с координатами (x˳,y˳) называется точкой максимума функции z=f(x,y), если вблизи этой точки выполняется неравенство f(x˳,y˳)>f(x,y)

Опр: точка (x˳,y˳) называется точкой минимума функции z=f(x,y) если близиэтой точки выполняется неравенство f(x˳,y˳) <f(x,y)

Опр: точка (x˳,y˳) называется стационарной(критической) если частные производные f’x(x˳,y˳) =f’y(x˳,y˳) =0

Теорема: пусть (x˳,y˳) -стационарная точка функции z=f(x,y). Пусть вблизи этой точки ф-ция имеет непрерывные частные производные. Обозначим

A= ∂^2F/∂x^2( x˳,y˳)

B= ∂^2F/∂y^2 (x˳,y˳)

C= ∂^2F/∂x∂y (x˳,y˳)

∆=AB-

1)если ∆<0, то (x˳,y˳) не явл точкой экстремума

2)если ∆>0 и A>0, то (x˳,y˳) -точка минимума

если ∆>0 и A<0, то (x˳,y˳) -точка максимума

3)Если ∆=0, то об экстремумах ничего сказать нельзя, требуется доп исследование

Вопрос 6. Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия с комплексными числами.

Рассмотрим уравнение z^2=-1. Z=+-√-1. Обозначим √-1=i и назовем его мнимой единицей. Тогда i^2=(√-1)^2 =-1

Опр: число a+iв называется комплексным числом, а-действительная часть, в-мнимая часть

Комплексные числа обозначаются на плоскости точками с координатами (а,в) или (ReƵ;ImƵ)

Плоскость с комплексными числами называется комплексной плоскостью и обозначается С.

Действия с комплексными числами:

1)сложение. Суммой комплексных чисел Ƶ1=а1+iв1, Ƶ2= а2+iв2 называется комплексное число Ƶ1+Ƶ2=( а1+iв1)+( а2+iв2)=а1+iв1+ а2+iв2=(а1+а2)+i(в1+в2)

2)умножение на число.

Произведение комплексного числа Ƶ= а1+iв1 на число r называется комплексное число rƵ1=r(а1+iв1)=rа1+irв1

3)произведение комплексных чисел

Это комплексное число r1*r2=( а1+iв1)*( а2+iв2)=а1*а2+iа1в2+iа2в1+iв1*iв2= (а1а2-в1в2)+i(а1в2+в1а2)

4)Деление

Число а-iв называют комплексно-сопряженным к числу а+iв и обозначают = а-iв, Ƶ= a+iв при этом Z(вектор)*Ƶ=( а-iв)*( а+iв) = a^2- (ib)^2 =a^2+b^2

Z1/Z2=Z1*Z2(век)/Z2*Z1(век)