Вопрос 26.Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
Пусть область V ограничена графиками 2-х функций Ƶ1=𝝋1(x,y), Ƶ2=𝝋2(x,y)
(x,y)<0
Y=𝝋2(x)
x€[a,b]
тогда область V можно записать системой
V:
a=<x=<b
𝝋1(x)=<y=<𝝋2(x)
𝝋1(x,y)=<Ƶ=<𝝋2(x,y)
Тогда тройной интеграл можно записать как повторный
∫∫∫ (снизу V) f(x,y,z)dxdydz= ∫(ot a do b) ∫(ot 𝝋1(x) do 𝝋2(x) ∫ ot 𝝋1(x,y) do 𝝋2(x,y) f(x,y,z)dzdydx
Вопрос 27. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
В цилиндрических координатах положение точки M(x,y,z) в пространстве Oxyz определяется тремя числами −ρ, φ, z , где ρ − длина радиуса-вектора проекции точки M на плоскость Oxy, φ − угол, образованный этим радиусом-вектором с осью Ox (рисунок 1), z − проекция на ось Oz (ее значение одинаково в декартовых и цилиндрических координатах).
|
|
|
Рис.1 |
|
|
Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями
Здесь предполагается, что
Якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим равен
Тогда формула замены переменных при данном преобразовании имеет вид:
Переход к цилиндрическим координатам упрощает вычисление тройного интеграла в случаях, когда область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.
Вопрос 28. Приложения тройного интеграла.
Объем тела
2. Масса тела
(
-
плотность тела).
3. Координаты центра масс
Вопрос 29. Криволинейный интеграл 1 рода. Определение. Свойства
Пусть функция Z=f(x,y) непрерывна в области Д. в области Д опр y= 𝝋(x), где x€[a,b]. Разобьем кривую АВ на n частей длины ∆l. На каждом участке разбиения вощьмем по точке Р1,Р2,Р3,…,Рn. Сумма f=P1*∆l+P2*∆l+P3*∆l+…+Pn*∆l называется интегральной для криволинейного интеграла 1 рода. Устремим ∆l→0, n . Предел инт суммы при ∆l→0, n→∞ называется криволинейный интеграл и обозначается ∫(снизу АВ) f( x,y) dl или ∫( снизу L)f(x,y) √(1+𝝋’^2(x)dx
dl=√(1+𝝋’^2(x)dx
свойства:
∫( снизу L) ( f(x,y)+g(x,y)) dl= ∫( снизу L)f(x,y) dl+ ∫( снизу L)g(x,y)dl
Если кривую L разбить на 2 непересекающиеся части L1 и L2 то
∫( снизу L)f(x,y)dl= ∫( снизу L1) f(x,y)dl + ∫( снизу L2) f(x,y)dl
∫( снизу L)r* f(x,y) dl= r* ∫( снизу L)f(x,y) dl
Вопрос 30. Вычисление криволинейного интеграла 1 рода.
Если кривая L задана графиком функции y=f(x), x€ [a,b] то dl =√(1+𝝋’^2(x)dx тогда
∫( снизу L) f(x,y) dl = ∫ ( ot a do b) f(x, 𝝋(x)) * √(1+𝝋’^2(x)dx
Если кривая задана параметрически: x=𝝋(t), y= Ψ(t), t €[α,β] тогда
dl= √ (1+(y’(x)^2)) dx = √(1+(dy/dx)^2 ) dx = √ ( (dx^2+dy^2) / dx ) dx = √ dx^2+dy^2 = √(𝝋’(t)dt)^2 + (Ψ’(t)dt)^2 = √ 𝝋’^2(t)dt^2 + Ψ ‘^2 (t)dt^2 = √ 𝝋’^2(t)+ Ψ’^2(t) dt
тогда ∫(снизу L) f(x,y) dl = ∫ ( ot a do b) f( 𝝋(t), Ψ (t) * √ 𝝋’^2(t)+ Ψ’^2(t) dt
пример:
Вопрос 31. Криволинейный интеграл 2 рода. Определение. Свойства.
Пусть материальная точка движется по кривой альфа от точки А с абсциссой а до точки В с абсциссой в, под действием силы
F(x,y)=X(x,y)*i*y(x,y)*j= {X(x,y);Y(x,y)}
Найдем работу силы F
Точки вдоль кривой альфа от т.А до т.В
А=F*S
Разобьем дугу АВ на n частей
На каждом участке перемещения это вектор ∆S{∆x,∆y}
Возьмем на каждом участке по точке Р1,Р2,Р3,…,Рn. Тогда будем считать силу на первом участке равной F(P1), на втором – F(P2), … , Pn. Тогда работа силы на всей дуге АВ:
A=F(P1)* ∆S+F(P2)* ∆S+…+F(Pn)* ∆S
Опр: сумма F(P1)* ∆S+F(P2)* ∆S+…+F(Pn)* ∆S называется интегральной суммой для криволинейного интеграла 2 рода
Устремим ∆S→0, n→∞
Опр: предел интегральной суммы при ∆S→0, n называется криволинейным интегралом 2 рода и обозначается:
∫ ( снизу L ) FdS= ∫ ( снизу L ) X(x,y)dx+ Y(x,y) dy
Свойства:
Если направление обхода вдоль кривой альфа изменить на противоположную то криволинейный интеграл 2 рода изменит свой знак