Вопрос 19. Приложения определенного интеграла к вычислению объемов тел. (?)

Рассмотрим криволинейную трапецию, т.е. фигуру, образованную прямыми   ,   , осью   и функцией   .

Требуется найти объем тела вращения, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси   .

Объем данного тела вычисляется по формуле, содержащей определенный интеграл:

Если криволинейная трапеция прилежит к оси   (прямые   ,   , ось   и функция   ), тогда объем тела также определяется по формуле, содержащей интеграл:

Вопрос 20. Несобственные интегралы. (?)

Определенный интеграл   называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

• Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

• Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b].

Бесконечные пределы интегрирования

Пусть f (x) является непрерывной функцией в интервале [a, ∞). Несобственный интеграл определяется через предел следующим образом:

Рассмотрим также случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (−∞, b]. В этом случае несобственный интеграл определяется как

Если указанные выше пределы существуют и конечны, то говорят что несобственные интегралы сходятся.  В противном случае интегралы расходятся.  Пусть f (x) является непрерывной функцией на множестве действительных чисел. Тогда справедливо соотношение

Если для некоторого действительного числа c оба интеграла в правой части сходятся, то говорят, что интеграл   также сходится; в противном случае он расходится. 

Теоремы сравнения

Пусть f (x) и g (x) является непрерывными функциями в интервале [a, ∞). Предположим, что  для всех x в интервале [a, ∞).

1. Если   сходится, то   также сходится;

2. Если   расходится, то   также расходится;

3. Если   сходится, то   также сходится.

В этом случае говорят, что интеграл   является абсолютно сходящимся.

Вопрос 21. Двойной интеграл. Определение. Свойства. Геометрический и физический смысл.

Пусть функция Z=f(x,y) непрерывна в некоторой области D. Найдем объем V тела, ограниченного плоскостью Хо,У, графиком функции Z=f(x,y) и цилиндрической поверхностью. Разобьем область D на n частей площадью ∆S. на каждом участке разбиения возьмем по точке P1,P2,Pn

Тогда объем V1 цилиндрического тела, полученного разбиения области можно найти по формуле V=HSосн=f(P1)*∆S

Тогда V2=f(P2)*∆S и т.д.

Значит окончательно V=V1+V2+…+Vn=f(P1)∆S+f(P2) ∆S+…+f(Pn) ∆S

Опр: сумма f(P1)∆S+f(P2) ∆S+…+f(Pn) ∆S называется интегральной для двойного интеграла

Устремим ∆S→0, n→∞

Опр: предел интегральной суммы при ∆S→0, n→∞называется двойным интегралом по области Д от функции f(x,y) и обозначается

Lim(∆S→0, n→∞) f(P1)∆S+f(P2) ∆S+…+f(Pn) ∆S=∫ ∫(снизу D) f(x,y)dS= ∫ ∫(снизу D)f(x,y)dxdy

Двойной интеграл вычисляет объем тел ограниченных областью Д, графиком ф-ции Z=f(x,y) и цилиндрической поверхностью

Свойства:

1.∫ ∫(снизу D) f(x,y) + g(x,y) dxdy= ∫ ∫(снизу D) f(x,y) dxdy+ ∫ ∫(снизу D) g(x,y) dxdy

2. ∫ ∫(снизу D) r* f(x,y) dxdy=r* ∫ ∫(снизу D)f(x,y)dxdy

3. Если область Д можно разбить на две непересекающиеся плоскости Д1 и Д2 то

∫ ∫(снизу D )f(x,y) dS= ∫ ∫(снизу D1) f(x,y) dxdy+ ∫ ∫(снизу D2) f(x,y) dxdy

Вопрос 22. Вычисление двойного интеграла (переход к повторному)

Пусть Д ограничена графиком функции y=𝝋1(x), y=𝝋2(x), где х€(а,в)

Тогда область Д можно записать в виде системы

Д: a=<x=<b

𝝋1(x)=<y=<𝝋2(x)

Тогда двойной интеграл можно записать как повторный интеграл

∫ ∫(снизу D)f(x,y) dS= ∫(ot a do b) ( ∫ (ot 𝝋1(x) do 𝝋2(x) f(x,y)dy ) dx

Вопрос 23. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

Вопрос 24. Приложение двойного интеграла.

1. Вычисление объемов тел

V= ∫ ∫(снизу D)f(x,y)dxdy

2. Вычисление массы тела (плотности) p(x,y),ограниченного областью Д

Mд= ∫ ∫(снизу D) p (x,y) dxdy

3. Вычисление центра масс пластины Д плотности p(x,y)

Хс= ( ∫ ∫(снизу D) x* p (x,y)dxdy ) / m

Yc=( ∫ ∫(снизу D) y * p (x,y)dxdy ) / m

Вопрос 25. Тройной интеграл. Определение. Свойства.

Пусть функция U=f(x,y,z) непрерывна в области V трехмерного пространства.

Разобьем область V на n частей объемом на ∆V. В каждом участке разбиения возьмем по точке Р1,Р2,Р3…Рn

Сумма f(P1)∆V+f(P2) ∆V+…+f(Pn) ∆V называется интегральной для тройного интеграла.

Предел интегральной суммы при ∆V→0, n→∞ называется тройным интегралом по области V от функции U=f(x,y,z) и обозначается

∫∫∫ (снизу V) f(x,y,z)dV= ∫∫∫ (снизу V) f(x,y,z) dydxdz

Свойства:

1. ∫∫∫ (снизу V) f(x,y,z)+g(x,y,z)dV=∫∫∫ (снизу V) f(x,y,z)dV+∫∫∫ (снизу V) g(x,y,z)dV

2. ∫∫∫ (снизу V)r* f(x,y,z)dV= r* ∫∫∫ (снизу V) f(x,y,z)dV

3. Если область V можно разложить на две пересекающиеся плоскости V1 и V2 то ∫∫∫ (снизу V) f(x,y,z)dV= ∫∫∫ (снизу V2) f(x,y,z)dV+∫∫∫ (снизу V2) f(x,y,z)dV