Вопрос 13. Метод интегрирования подстановкой.
∫f(g(x))/t * g’(x) dx/dt = |t=g(x); dt=g’(x)dx|= ∫ f(t) dt
Пример:
∫(√cosx+2)* sin x dx =| t= cosx+2; dt=-sinxdx; -dt=sinxdx|= ∫√tdt= ∫t^(1/2)dt= t^(1/2+1)/(1/2+1) + c= -2(cosx+2) / 3 + c
Вопрос 14. Метод интегрирования по частям.
Согласно правилу дифференцирования
(UV)’=U’V+UV’| *dx
(UV)’dx=U’Vdx+UV’dx
По определению дифференциала: df=f’(x)dx
поэтому: (UV)’dx=d(UV)
U’dx=dU
V’dx=dV
Тогда равенство примет вид D(UV)=VdU+UdV
Проинтегрируем обе части:
∫d(UV)=∫VdU+∫UdV
UV= ∫VdU+∫UdV
∫UdV=UV-∫VdU
Формула интегрирования по частям применяется для : x*e^x, x*cosx, x*sinx, lnx*x, arccosx*x…
Вопрос 15. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Свойства определенного интеграла.
Рассмотрим непрерывную функцию y=f(x) на отрезке (a,b)
Найдем S криволинейной трапеции, ограниченной функции, осью Ох и вертикалями x=A,x=B
Для этого разобьем AB на n равных частей длины ∆x
Тогда фигура раскладывается на n частей, каждая из которых криволинейный прямоугольник. На каждом участке разбиения отрезка (а,в) возьмем по точке P1(x1),P2(x2),P3(x3)…Pn(xn)
Тогда S каждого прямоугольника примерно равна:
S1=f(P1)∆x
S2=f(P2)∆x
….
Sn=f(Pn)∆x
Тогда искомая площадь
S=S1+S1+…+Sn=f(P1) ∆x+f(P2) ∆x+…+f(Pn) ∆x
Устремим n к ∞ , ∆x→0
S=lim(n→∞,∆x→0) f(P1) ∆x+f(P2) ∆x+…+f(Pn) ∆x
Опр:выражение f(P1) ∆x+f(P2) ∆x+…+f(Pn) ∆x называется интегральной суммой
Опр: предел интегральной суммы при n→∞, ∆x→0 называется определенным интегралом от функции y=f(x) и обозначается ∫(от а до а)f(x)dx, где а-нижний предел, b-верхний предел
Вопрос 16. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
Рассмотрим функцию y=f(x) на интервале [a,∞]
Опр: интеграл вида ∫(ot b do x) f(x) dx называется интегралом с переменным верхним пределом
Обозначим его значение S(x)= ∫(ot b do x) f(x) dx
Найдем производную этой функции. Для этого зададим прирщение аргумента ∆х, тогда площадь новой фигуры S(∆x+x). Найдем приращение функции
∆S=S(x+∆x)-S(x)
Используем теорему Лагранжа. Найдется такое число С € (x;x+∆x)
=S’(x)*∆x
C другой стороны
∆S=f(c)*∆x
Найдем производную
S’(x)= lim(∆x→0, C→x) ∆S/∆x = lim (∆x→0) f(x)∆x/∆x = f(x)
Итак, производная интеграла с переменным верхним пределом равна подинтегральной функции
( ∫ot a do x) f(x)dx)’= f(x)
С другой стороны так как S’(x)=f(x), то S(x) является первообразной для функции f(x). Значит, F(x)=S(x)+c
Рассмотрим S(a)= ∫(ot a do b) f(x)dx=0
S(b)= ∫(ot a do b) f(x)dx
С другой стороны
F(a)=S(a)+c= C
F(b)=S(b)+c= ∫(ot a do b) f(x)dx + F(a)
Отсюда получаем формулу Ньютона-Лейбница
∫(ot a do b) f(x)dx = F(b)-F(a)
Вопрос 17. Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.
Определенный интеграл от функции f(x) есть криволинейная трапеция ограниченная графиком этой функции, осью Ох и вертикалями x=a,x=b
Пример:
Вопрос 18. Приложения определенного интеграла к вычислению длины дуги кривой.
Р
ассмотрим
непрерывную функцию y=f(x).
Найдем длину дуги графика функции при
x€(a,b).
Для этого разобьем длину дуги АВ на n
равных частей длины ∆l.
Длина каждой части примерно равна
гипотенузе треугольника с катетами ∆x
и ∆y,
значит ∆l=
√∆x^2+∆y^2
Тогда чтобы достичь точности вычисления устремим n→∞ тогда ∆l→0, ∆l=dl. Тогда
dl= √dx^2+dy^2
Длина
дуги АВ=∆l+∆l+…+∆l-
интегральная сумма. Тогда при n
,
∆l→0
получаем по определению определенный
интеграл
AB= ∫(ot a do b)1dl= ∫(ot a do b)√dx^2+dy^2= ∫(ot a do b)√dx^2+(f’(x)dx)^2= ∫(ot a do b) √dx^2+f’(x))^2dx^2= ∫(ot a do b) √(dx^2(1+f’(x))2= ∫(ot a do b) √1+(f’(x))^2dx
AB= ∫(ot a do b) √1+(f’(x))^2dx
Пример:
