Условные:
Квадратик-это «фи»
√-корень
∫интеграл. (от а до в) –а-нижняя, в-верхняя
X^2- х в квадрате
½-дробь
Вопрос 1. Функции нескольких переменных, основные понятия, предел функции, непрерывность функции двух переменных
Закон, формула по которым набору чисел x,y,z,…,t ставится в соответствии некоторое число Ɯ, называется функцией нескольких переменных и обозначается W=Ɯ(x,y,z…)
Все точки X,y,z… при которых существует значение функции, называются допустимыми и образуют область определений функции
Пределом функции W=Ɯ(x,y,z…t) называется множество точек с координатами (x,y,z..t;Ɯ(x,y,z…t))
Для функции y=f(x) графиком является множество точек
Пределом функции двух переменных z=f(x,y) является множество точек (x,y;f(x,y))
Для построения графика функции изображаем область определения D.
Для каждой m(x,y)€ D(f) находим значение функции f(x,y) и складываем его вдоль оси OƵ, получаем точки с координатами (x,y;f(x,y)). Соединив все точки получаем поверхность в трехмерном пространстве, которая называется пределом функции двух переменных.
Число А называется пределом функции z=f(x,y) в точке (x˳, y˳) если для любого E>0 найдется такое число Е>0, что при всех (x,y) находящихся на расстоянии G от точки (x˳,y˳) выполняется неравенство :
(f(x,y)-A)<E и обозначается лим(x,y) →(0,0)f(x,y)=A
Функция z=f(x,y)называется непрерывной в точке (x˳,y˳) если выполняется 2 условия:
(x˳,y˳)€ D(f)
L
im
f(x,y)=
f(x˳,y˳)
Вопрос 2. Частные производные первого порядка и их геометрическое истолкование.
Найдем частные производные ∂z/∂x; ∂z/∂y. Это тоже ф-ции, значит можно найти их частные проиводные. ∂z/dx(∂z/∂x)= ∂^2z/∂x^2- это частная производная ф-ции z по переменному x 2-го порядка.
Аналогично ∂z/dy(∂z/∂y)= ∂^2z/∂y^2- частная производная по у 2-го порядка.
Если же частную производную по х дифференцировать по у то полученная производная наз-ся смешанной частной производной 2-го порядка.
∂z/dx(∂z/∂у)= ∂^2z/∂x*∂у
Частные производные можно обозначить: ∂^2f/∂x^2=f’’xx(x,y);
∂^2f/∂y^2=f’’yy(x,y); ∂^2f/∂y*∂x=f’’xy (x,y); ∂^2f/∂x*∂y=f’’yx (x,y);
Геометрическое истолкование:
Для простоты рассмотрим функции от 2-х переменных z=f(x,y). Зафиксируем переменную. Дадим х приращение ∆х. найдем приращение ф-ции f
∆xf=f(x+∆x;y)-f(x,y). Такое приращение называется частным приращением по переменному х. предел отношения частного приращения по переменному х к приращению аргумента ∆х при ∆х→0, называется частной производной функции по переменному х и обозначается
Lim(∆x→0)∆xf/∆x=fx’(x,y)=df/dx
Зафиксируем переменную х. найдем приращение ф-ции ∆yf
∆yf=f(x,y+∆y)-f(x,y)-частное приращение по переменному у.
Предел отношения частного приращения функции по переменному у к приращению аргумента ∆у при ∆у→0 называется частной производной ф-ции по переменному у
Lim(∆y→0)∆yf/∆y=f’y ∂f/∂y
Вопрос 3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции.
Опр: дифференциалом ф-ции z=f(x,y) наз-ся выражение вида dz=dz/dx*dx+ dz/dy * dy
Опр: дифференциалом ф-ции z=f(x,y) 2-го порядка наз-ют выражение вида: d^2z=d^2z/dx^2 * dx^2 + 2 ( d^2z/dx*dy) * dx*dy + (d^2z/dy^2) *dy^2y
Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки M(x,y) . Составим полное приращение функции в точке М:
∆z=f(x+∆x;y+∆y)-f(x,y)
Функция z=f(x,y)называется дифференцируемой в точке M(x,y) , если её полное приращение в этой точке можно представить в виде
∆z=A*∆x+B*∆y+a*∆x+β*∆y
A=a(∆x,∆y)→0 и β=β(∆x,∆y)→0 при ∆x→0, ∆y→0 . Сумма первых двух слагаемых в равенстве (1) представляет собой главную часть приращения функции..
Главная часть приращения функции z=f(x,y) , линейная относительно ∆x→0, ∆y→0 , называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz:
∆z=A*∆x+B*∆y
Выражения A*∆x и B*∆y называют частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают ∆x=∂x и ∆y=∂y. Поэтому равенство (2) можно переписать в виде
D
z=Adx+Bdy
