19. Элементы графов, типы графов. Понятие дерево в теории графов.

Графами были названы схемы, состоящие из точек и соединяющих эти точки отрезков прямых или кривых (примеры графов изображены на рисунке). С помощью графов часто упрощалось решение задач, сформулированных в различных областях знаний: в автоматике, электронике, физике, химии и др. С помощью графов изображаются схемы дорог, газопроводов, тепло- и электросети. Помогают графы в решении математических и экономических задач. Существует значительное число разновидностей графов. В каждом конкретном случае возможно применение того или иного типа графа. Возможно поэтапное преобразование графа одного типа в граф другого без изменения информационного наполнения графа. Эти преобразования называютсяизоморфными. При этих преобразованиях сохраняется неизменным число вершин графа и их соединения. Приведем наиболее применяемые разновидности графов.

• Неориентированный граф – граф, в котором не указано направление рёбер; например, граф, описывающий принципиальную электрическую схему.

• Ориентированный граф – граф, в котором указана ориентировка ребер.

• Конечный граф – граф, число вершин в котором конечно. В основном дело имеют с конечными графами.

• Пустой граф – граф, в котором число вершин и рёбер равно нулю.

• Полный граф – граф, в котором все вершины соединены между собой рёбрами.

• Связный граф – такой граф, в котором можно соединить последовательностью рёбер любые две вершины. Этот граф нельзя разделить на отдельные несвязные подграфы.

• Несвязный граф – граф, в котором нельзя соединить хотя бы две вершины последовательностью рёбер. Такой граф можно разделить на несколько независимых подграфов.

• Планарный граф – граф, который может быть изображен на плоскости без пересечения рёбер. Определение планарности – задача нетривиальная и для этого используются специальные алгоритмы. Однако существуют два типа заведомо непланарных графа (графы Куратовского), и, если они входят в состав исходного графа, то последний не является планарным.

• Плоский граф – уже изображенный на плоскости без пересечения рёбер. Плоский граф – модель реализации односторонней печатной платы. Плоский граф получают из планарного изоморфными преобразованиями графа.

Для реализации алгоритмов необходимо знать элементы графа, его части и структурные свойства. Основными элементами графа являются вершины и ребра. Смежнымирёбрами называются два ребра, которые подходят к одной вершине, или выходят из неё. Иногда говорят, что эти рёбра инцидентны вершине. Неориентированное дерево (или просто дерево) – это конечный связный граф с выделенной вершиной (корнем) без циклов. Дерево не имеет  петель и кратных рёбер. Дерево и названо дерево, поскольку, будучи нарисованным, выглядит как дерево, только перевёрнутое «вверх ногами» Понятие дерева широко используется во многих областях математики и информатике. Например, они используются как инструмент при вычислениях, как удобный способ хранения данных, способ сортировки или поиска данных. Для каждой пары вершин дерева – узлов – существует единственный маршрут, поэтому вершины удобно классифицировать по степени удалённости от корневой вершины. Расстояние до корневой вершины Поскольку маршрут между двумя вершинами единственный, то, применяя это свойство к смежным вершинам, можно заключить, что любая ветвь является мостом. Действительно, при удалении ребра этот единственный маршрут прерывается. Тогда граф распадается на два подграфа. В одном из них остаётся корневая вершина, и этот граф тоже будет являться деревом. В другом выделим вершину, инцидентную удалённому мосту. Тогда второй подграф также будет являться деревом.