14. Постановка задач о назначениях

Задача о назначениях является частным случаем классической транспортной задачи и, как следствие, является задачей транспортного типа. Транспортная задача - задача о наиболее экономном плане перевозок однородного или взаимозаменяемого продукта из пункта производства (станций отправления), в пункты потребления (станции назначения) - является важнейшей частной задачей линейного программирования, имеющей обширные практические приложения не только к проблемам транспорта. В современных условиях развития каждое предприятие стремится с наименьшими затратами функционировать в сложившихся условиях с целью получения высоких доходов. Экономико-математические задачи о назначениях позволяют найти оптимальный вариант размещения одного кандидата на выполнение одной работы таким образом, чтобы минимизировать суммарные затраты по выполнению комплекса работ группой исполнителей. Также возможны некоторые модификации задачи о назначениях: во-первых, она иногда формулируется как задача максимизации (например, суммарного дохода от назначения всех исполнителей на работы); во-вторых, штатный состав организации может быть представлен большим количеством исполнителей, нежели количество работ, на которые должны быть назначены или, наоборот, большее количество работы, при недостаточном количестве исполнителей для ее выполнения; в-третьих, выполнение какой-либо работы по каким-либо причинам запрещается исполнять какому-либо работнику. В такой постановке данная задача относится к классу комбинаторных, решение которых путем прямого перебора невозможно при достаточно больших n, так как число вариантов назначений составляет n!. Данный программный продукт позволяет за короткий промежуток времени решать описанные модификации задачи о назначениях венгерским методом, с определением оптимального варианта размещения исполнителей по работам, исходя из поставленных условий. Идея метода была высказана венгерским математиком Эгервари и состоит в следующем. Строится начальный план, не удовлетворяющий в общем случае всем условиям задачи. Далее осуществляется переход к новому плану, более близкому к оптимальному. Последовательное применение этого приема за конечное число итераций приводит к решению задачи.

15. Построение оптимального плана реализации туристического продукта методом потенциалов

Метод потенциалов (модифицированный распределительный метод - МОДИ) является усовершенствованным вариантом распределительного метода и более практичным для решения транспортных и других задач этого типа. Метод потенциалов является модификацией симплекс-метода решения задачи линейного программирования применительно к транспортной задаче. Он позволяет, отправляясь от некоторого допустимого решения, получить оптимальное решение за конечное число итераций. Идея метода потенциалов заключается в том, что отличия затрат на перевозку по разным транспортным связям можно представить как разность потенциалов, причем эта разность потенциалов будет тем больше, чем сильнее различаются величины затрат. Алгоритм метода потенциалов, применяемого при решении транспортной задачи линейного программирования (ТЗЛП), состоит из следующих действий: 1) построение матрицы (таблицы) транспортной задачи. Каждая клетка матрицы обозначает транспортную связь между поставщиком и потребителем. Строки матрицы соответствуют поставщикам, а столбцы - потребителям. В верхнем углу каждой клетки записывается стоимость перевозки (оценка транспортной связи). Справа от каждой строки матрицы записывается объем производства, а внизу каждого столбца -объем потребления груза. Объемы перевозок будут записываться в клетки матрицы; 2) построение начального (базисного) плана перевозок. Для построения базисного плана в ТЗЛП существует несколько методов, наиболее распространенными из которых являются метод «северо-западного угла» и метод наименьшей стоимости. По методу «северо-западного угла» распределение объемов перевозок начинается с верхней левой клетки матрицы. В нее помещается минимальное из двух значений: объем производства первого поставщика; объем спроса первого потребителя. Если объем предложения первого поставщика превышает спрос первого потребителя, то излишки продукции отправляются второму потребителю. И наоборот, если объем спроса первого потребителя превосходит возможности первого поставщика, то недостающий объем поставляется от второго поставщика. Объемы производства остальных поставщиков распределяются аналогичным образом. Метод наименьшей стоимости отличается от метода «северо-западного угла» тем, что перевозки в нем в первую очередь распределяются по клеткам с наименьшей оценкой. Количество заполненных перевозками клеток должно быть на единицу меньше суммы количества поставщиков и потребителей. В противном случае возникает случай вырождения, затрудняющий решение ТЗЛП, поэтому необходимо так перераспределить перевозки в базисном плане, чтобы их количество удовлетворяло указанному условию; 3) построение системы потенциалов( это условные числа, приписываемые каждому поставщику и потребителю). Потенциалы связаны со стоимостью существующих в плане перевозок. Потенциал рассчитывается как сумма потенциалов строки и стоимости перевозки для занятой клетки. И наоборот (                                                                                                    4) расчет разности потенциалов (положительных сдвижек) для клеток, не загруженных перевозками (свободных клеток). Величина положительной сдвижки равна разности между потенциалом строки, потенциалом столбца и оценки свободной клетки, находящейся на их пересечении. Если положительные сдвижки (значение которых больше 0) отсутствуют, то оптимальный план перевозок найден; 5) перераспределение перевозок. Для определения клеток, из которых удаляются перевозки, и клеток, на которые переносятся перевозки, в матрице строится замкнутый прямоугольный контур. Первой вершиной контура должна быть незанятая клетка с максимальной положительной сдвижкой. Остальные вершины контура должны находиться в занятых клетках. Вершины контура нумеруются (1, 2, 3, ...), начиная с вершины, находящейся в незанятой клетке, либо поочередно помечаются знаками + и -, начиная со знака + в незанятой клетке. Нумерация или пометка может производиться в любом направлении движения по контуру. Определяется минимальный объем перевозок в четных клетках, либо в клетках, помеченных знаком -. Этот объем перевозок переносится из четных клеток (со знаком -) в нечетные клетки (со знаком +); 6) проверить правильность вычислений. Для этого достаточно сравнить суммарные затраты на перевозку груза по новому плану с затратами базисного (или предыдущего) плана перевозок. Уменьшение затрат является признаком правильности вычислений. Итерации повторяются с пункта 3 до тех пор, пока имеется хотя бы одна положительная сдвижка.