Рівняння моментів

Друге векторне рівнянння (Д.1) - закон збереження момента кількості руху, можна записати, як рівняння моментів, використовуючи формулу повної похідної вектора, у проекціях на осі зв`заної системи координат:

(Д.11)

Ці рівняння описують зміну швидкості обертання літака під впливом аеродинамічних моментів М_x, M_y, M_z .

При записуванні у зв'язаній системі координат, осі якої збігаються з головними осями інерції, рівняння моментів спрощуються, оскільки відцентрові моменти інерції J_xy, J_yz, J_zx дорівнюють нулю, і проекції момента кількості руху на осі зв'язаної системи координат мають простий вигляд:

(Д.12)

де J_x, J_y, J_z - осьові моменти інерції;

__x, _y, _z - проекції вектора кутової швидкості обертання літaка на осі зв'язаної системи координат.

Враховуючи (Д.12), рівняння моментів (Д.11) придбають вигляд:

(Д.13)

З урахуванням прийнятих припущень рух літака, як твердого тіла з шістьма ступенями свободи, описується шістьма рівняннями Ейлера -рівняннямі сил та моментів. Але щоб замкнути систему небхідні додаткові співвідношення для визначення параметрів польоту, від яких залежать праві частини рівнянь сил і моментів.

Геометричні рівняння

Для обчислення кута атаки , кута ковзання  та швидкісного кута крену _a, які необхідні для визначення сил та моментів, що діють на літак, використуємося геометричними співвідношеннями.

Геометричні співвідношення можна отримати шляхом прирівнювання матриці напрямляючих косинусів прямого переходу від зв'язаної системи координат до швидкісної до добутку матриць послідовного переход від зв'язаної системи координат до нормальної і далі від нормальної до швидкісної. Така процедура ілюструється графом, що наведений на мал. Д.3, і може бути записана у вигляді матричного рівняння:

(Д.14)

де ;

;

.

Обчислюючи елементи матриць у левих та правих частинах ціх рівнянь і прирівнюючи їх, після деяких тригонометричних перетворень отримаємо геометричні рівняння у вигляді:

(Д.15)

Тут додатково враховано, що при відсутності вітру _a _a .

Для розв`язання рівнянь (Д.15) необхідна інформація про кінематичні параметри руху літака  ,  , , а також про кути  , .

Кінематичні рівняння

Для обчислення кутів   роздивимось перетворення нормальної системи координат у траєкторну шляхом двох послідовних поворотів (див. мал. Д.4). Перший поворот (1) здійснюється навколо осі Y_g на кут , другий (2) поворот - навколо осі Z_к на кут . Зрозуміло, що кутові швидкості , спрямовані вздовж відповідних осей. Проектуючи , на вісі траєкторної системи координат, отримаємо :

(Д.16)

Вирази для _yк та _zк (перше та третье рівнянння системи) будемо використовувати в рівняннях сил для визначення змін кута похилу траєкторії  і путьового кута  під впливом сили тяги Р, сили ваги G і аеродинамічних сил: підйомної сили Y_a, сили лобового опору Х_a, бокової сили Z_a.

Кінематичні співвідношення між кутами , ,  та проекціями вектора абсолютної кутової швидкості на осі зв`язаної системи координат <sub>x</sub>, <sub>z</sub>, <sub>y</sub> можна отримати з мал. Д.5, на якому показанє перетворення нормальної системи координат OX<sub>g</sub>Y<sub>g</sub>Z<sub>g</sub> у зв`язану OXYZ шляхом трьох поворотів:

1 - навколо осі OY_g;

2 - навколо проміжної осі OZ^*;

3 - навколо осі OX.

Очевидно, що кутові швидкості , , , які спрямовані вздовж відповідних осей є складові абсолютної кутової швидкості ЛА. Проектуючи , на вісі зв`язаної системи координат, отримаємо:

(Д.17)

Розв`язуючи співвідношення (Д.17), отримаємо таки кінематичні рівнянння:

(Д.17)

Кінематичні співвідношення доповнюють систему рівнянь до повної й описують зміну кутів крену , тангажу  і рискання .

Для дослідження траєкторного руху літака необхідно додатково отримати співвідношення для проекцій швидкості польоту на осі нормальної системи координат.