13

Додаток1. Математична модель просторового руху літака

При отриманні рівнянь просторового руху приймаються такі припущення:

-літак являє собою абсолютне жорстке тіло з постійними інерційно-масовими характеристиками;

- осі зв'язаної системи координат збігаються з головними осями інерції, тобто, відцентрові моменти інерції дорівнюють нулю;

- вектор тяги прикладений до центра мас і не створює додаткових моментів;

- Земля плоска, не обертається і не переміщується в інерціальному просторі, тобто, не враховуються переносні та коріолісові сили й моменти;

- повітряне середовище нерухоме.

Рівняння руху літака, як твердого тіла, можуть бути одержані з законів збереження кількості та момента кількості руху, які у векторній формі мають вигляд:

, (Д.1)

де - вектор повітряної швидкості;

- вектор зовнішніх сил, діючих на літак;

- вектор момента кількості руху;

- аеродинамічний момент;

m - маса літака.

З векторного аналізу відомо, що похідна вектора у нерухомій системі координат - може бути подана як сума похідної вектора в рухомій системі координат та векторного добутку кутової швидкості обертання рухомої системи координат відносно нерухомої на вектор .

. (Д.2)

Саме в такому вигляді векторні рівняння (Д.1) проектують на осі рухомих систем координат.

Складові векторного добутку ( ) визначаютьсчя як алгебраїчне доповнення першої строки детермінанта

і у проекціях на осі зв`язаної системи координат мають вигляд:

на вісь OX ;

на вісь OY ; (Д.3)

на вісь OZ .

Тут _x, _y, _z - проекції вектора абсолютної кутової швидкості  на осі зв`язаної системи координат;

A_x, A_y, A_z - проекції вектора A на осі зв`язаної системи координат.

Рівняння сил

Використовуючи формулу повної похідної вектора (Д.2), (Д.3) можна записати перше векторне рівнянння (Д.1) - закон збереження кількості руху, як рівняння сил у проекціях на осі зв`заної системи координат:

(Д.4)

де F_x, F_y, F_z - проекції вектора зовнішніх сил на осі зв`язаної системи координат;

V_x, V_y, V_z - проекції вектора швидкості руху центра мас ЛА на осі зв`язаної системи координат.

Але в траєкторній системі координат рівняння сил мають більш простий вигляд, оскільки вісь ОХ_к траєкторної системи координат збігається з вектором швидкості, а проекції вектора швидкості на осі ОY_к , ОZ_к дорівнюють нулю:

Крім того при записуванні в траєкторній системі координат у рів­нян­нях сил добре проглядається динаміка зміни параметрів польоту під впливом аеродинамічних сил. Отже, рівняння сил, що записані в траєкторній системі координат, мають вигляд:

(Д.5)

де F_xк, F_yк, F_zк,_yк, _zк - проекції вектора зовнішніх сил і вектора абсолютної кутової швидкості обертання ЛА на осі траєкторної системи координат.

Розкриваючи праві частини рівнянь, будемо враховувати силу тяги двигуна Р, силу ваги G та повну аеродинамічну силу R, яка складається з підйомної сили Y_a, сили лобового опору Х_a, бокової сили Z_a, тобто

F_xк P_xк + G_xк + R_xк ; F_yк P_yк + G_yк + R_yк ; F_zк P_zк + G_zк + R_zк

Аеродинамічні сили визначаються в швидкісній системі координат і спрямовані за відповіднимі осямі цієї системи, причому напрямок сили лобового опору X_a збігається з негативним напрямком осі OX_a , яка у свою чергу збігається з напрямком осі OX_к траєкторної системи координат. Швидкісна система координат нахилена відносно траєкторної на швидкісний кут крену _a, тому проекції повної аеродинамічної сили R на вісі траєкторної системи координат (див. мал. Д.1) визначаються як:

(Д.6)

Вектор сили тяги P збігається з напрямком поздовжньої осі ЛА, тому його проекції на вісі траєкторної системи координат можна отримати за допомогою матриці переходу від зв`язаної до траєкторної системи координат:

(Д.7)

Ці співвідношення можна також отримати, проектуючи вектор сили тяги P на осі траєкторній системи координат:

(Д.8)

Напрямок вектора сили ваги G збігається з негативним напрямком осі Y_g нормальної системи координат, яка нахилена відносно площини горизонту на кут  (див. мал. Д.2), тому проектуючи вектор сили ваги на вісі траєкторної системи координат можна отримати:

(Д.9)

Використовуючи співвідношення (Д.6), (Д.8), (Д.8), можна записати рівняння сил в траєкторній системі координат у вигляді:

(Д.10)