основы проектирования хим произв дворецкий

ДВУХЭТАПНОЕИНТЕГРИРОВАННОЕПРОЕКТИРОВАНИЕХТСВУСЛОВИЯХИНТЕРВАЛЬНОЙ… 221

χ1(a, d) > 0 .

Описанная модификация позволяет использовать в алгоритме внешней аппроксимации только верхнюю и нижнюю границы функции гибкости χ1(a, d)

вместо вычисления самой этой функции, что приводит к существенному уменьшению вычислительных затрат.

Далее рассмотрим метод разбиений и границ для решения ДЗИП1 [23, 24], представляющий двухуровневую итерационную процедуру (рис. 7.1).

Он состоит из следующих блоков:

1) вычисление верхней границы С1U ,(ν) (см. задачу (7.34) – (7.36)) целевой функции задачи

Рис. 7.1. Блок-схема метода разбиений и границ

222 Глава 7. НОВЫЕ ПОДХОДЫ К АППАРАТУРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМУ ОФОРМЛЕНИЮ…

Верхний уровень алгоритма разбиения и границ (см. рис. 7.1) служит для проверки окончания процедуры решения и разбиения области Ξ на подобласти.

На нижнем уровне вычисляются верхняя С1U ,(ν) и нижняя С1L,(ν) границы.

Сформулируем правила разбиения области Ξ на подобласти Ξi(ν) (i =1, ..., Nν) . Прямой путь состоит в систематическом дроблении всех областей

на каждой итерации, пока все подобласти не станут достаточно малыми. Однако такая стратегия разбиения неэффективна, так как в этом случае размерность задач (7.31) – (7.33) и (7.37) – (7.39) достаточно быстро может стать очень высокой.

Рассмотрим более эффективный способ дробления, основанный на следую-

щем эвристическом правиле: на ν-й итерации дробиться будут только те из областей Ξi(ν) (i =1, ..., Nν ) , для которых соответствующие ограничения (7.35)

задачи (7.34) – (7.36) будут активны. Так как задача (7.37) – (7.39) эквивалентна задаче (7.34) – (7.36), то это эвристическое правило может быть сформулировано

следующим образом: на ν-й итерации подобласть Ξl(ν) дробится, если выполняется условие

j J max g j (a(ν) , d (ν) , zl,(ν) , ξ) = 0 ,

ξ Ξl

где J = (1, ..., m); [a(ν) , d (ν) , zl,(ν) ] − решение задачи (7.37) – (7.39).

Вработе [38] показано, что дробление подобластей с неактивными ограничениями бесполезно, а удаление активных ограничений в задаче оптимизации улучшает оптимальное значение целевой функции.

Вкачестве множества S2(ν) можно использовать все критические точки, по-

лученные при решении задачи (7.37) – (7.39) вычисления верхней границы целевой функции ДЗИП1. Однако в этом случае размерность задачи (7.31) – (7.33) может стать очень высокой. Необходимо выбирать это множество таким обра-

зом, чтобы нижняя граница C1L (a, d) была как можно ближе к оптимальному

ДВУХЭТАПНОЕИНТЕГРИРОВАННОЕПРОЕКТИРОВАНИЕХТСВУСЛОВИЯХИНТЕРВАЛЬНОЙ… 223

Следовательно, целесообразно выбрать множество S2(ν) следующим обра-

зом: S2(ν) = SA(ν.P) . При этом можно уменьшить число точек, используемых для формирования S2(ν) . Действительно, при Nν → ∞ все точки одной подобласти стягиваются в одну точку. Следовательно, во множество S2(ν) можно включать только одну активную точку из всех точек, принадлежащих подобласти Ξl(ν) .

~(ν) (ν)

Всвязи с этим образуем множество S A.P из множества S A.P следующим образом.

Вкаждой подобласти Ξl(ν) из всех активных точек SAl,.(Pν) оставим только одну,

решение этой задачи.

224 Глава 7. НОВЫЕ ПОДХОДЫ К АППАРАТУРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМУ ОФОРМЛЕНИЮ…

Шаг 3. Определим множество Q(ν) = {Ξl(ν) : l IQ(ν) } подобластей Ξi(ν) , которым соответствуют активные ограничения в задаче (7.34) – (7.36):

χ1U,l (a(ν) , d (ν) ) = 0, Ξl(ν) Q(ν) .

Шаг 4. Если Q(ν) пустое множество, то решение ДЗИП1 найдено, алгоритм

заканчивает свою работу.

Шаг 5. Если выполняется условие

С1U ,(ν−1) − С1U ,(ν) ≤ ε1 С1U ,(ν) ,

то решение ДЗИП1 найдено, алгоритм заканчивает свою работу. В противном случае проверяем выполнение условия

С1U ,(ν−1) − С1U ,(ν) ≤ ε2 С1U ,(ν) ,

и если оно нарушается, то переходим к шагу 8, в противном случае переходим к шагу 6.

Шаг 6. Находим нижнюю границу С1L,(ν) , решая задачу (7.31) – (7.33). Здесь

мы полагаем S2(ν) = SA(ν.P) (см. шаг 9 алгоритма 7.4). Шаг 7. Если выполняется условие

C1U ,(ν−1) −C1U ,(ν) ≤ ε1 C1U ,(ν) ,

то решение ДЗИП1 найдено, алгоритм заканчивает свою работу. Шаг 8. Если выполняется условие

r(Ξi(ν) ) ≤ δ2 , i =1, ..., Nν ,

то решение ДЗИП1 найдено, алгоритм заканчивает свою работу.

Шаг 9. Если выполняется условие r(Ξl(ν) ) ≤ δ1 , l =1, ..., Nν , то переходим к шагу 11.

Шаг 10. Сформировать множество L(ν) . Найти множество V (ν) подобластей Ξi(ν) , принадлежащих одновременно множествам L(ν) и Q(ν) , т.е.

V (ν) = L(ν) IQ(ν) .

Разбить каждую подобласть Ξl(ν) V (ν) на две подобласти таким образом,

ДВУХЭТАПНОЕИНТЕГРИРОВАННОЕПРОЕКТИРОВАНИЕХТСВУСЛОВИЯХИНТЕРВАЛЬНОЙ… 225

Шаг 11. Положим δ1 = δ1 / 2 и переходим к шагу 9.

Шаг 12. Положим ν = ν +1 и переходим к шагу 2. Алгоритм 7.6 позволяет получить локальный минимум.

Определение начального разбиения области Ξ на подобласти на шаге 1 является непростой задачей. Конечно, начальное разбиение может состоять из всей области Ξ . Однако в этом случае задача (7.34) – (7.36) может не иметь решения. В связи с этим на шаге 1 можно вычислять значение индекса гибкости γ1 ХТС.

Эта величина находится решением задачи

имеет решение. Множество подобластей, найденное решением задачи (7.53), (7.54), может быть использовано как начальное разбиение области Ξ

на подобласти Ξi(1) на шаге 1 алгоритма 7.6.

До сих пор мы предполагали, что аппроксимационные точки в дискретном варианте ДЗИП1 (см. задачу (7.55) – (7.57)) задаются пользователем, и что число этих точек невелико. В данном случае главной проблемой является вычисление значения критерия, т.е. вычисление многомерного интеграла. Для этого используются два подхода.

Первый подход основывается на использовании квадратурных формул Гаусса. Предположим для простоты изложения, что вектор ξ имеет только две

компоненты (т.е. область Ξ − прямоугольник); тогда, если все неопределенные параметры независимы, необходимо вычислить интеграл

226 Глава 7. НОВЫЕ ПОДХОДЫ К АППАРАТУРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМУ ОФОРМЛЕНИЮ…

ξ2 ξij ξi+1 j

ξv2

ξ2j

ξ2L

где zij − управляющая переменная, соответствующая точке ξij . Квадратурная формула легко обобщается на п-мерный случай. В этом случае для аппроксимации многомерного интеграла потребуется pnξ узловых точек, где nξ − размер-

ДВУХЭТАПНОЕИНТЕГРИРОВАННОЕПРОЕКТИРОВАНИЕХТСВУСЛОВИЯХИНТЕРВАЛЬНОЙ… 227

ность вектора ξ. Заменяя целевую функцию ее гауссовым приближением, полу-

чим дискретный вариант ДЗИП1 (7.55) – (7.57). Здесь узловые точки используются в качестве аппроксимационных точек. Следовательно, множество

S1 = {ξi : i I1} аппроксимационных точек в задаче (7.55) – (7.57) будет состоять из pnξ точек. Для вычисления целевой функции в задаче (7.55) – (7.57) следует най-

ти значение функции С(a, d, z, ξ) pnξ раз. Размерность задачи (7.31) – (7.33) вы-

числения нижней границы будет равна nd + ( pnξ + Nc. p )nz , где nd и nz − размерности векторов d и z , соответственно, Nc. p − число критических точек.

Очевидно, что решение практических задач большой размерности может потребовать огромных вычислительных затрат.

Второй подход к вычислению интегралов основывается на процедуре Монте-Карло и близких к ней процедурах (латинского гиперкуба и последовательности проб Хаммерслея (HSS). Для этих методов известно, что число аппроксимационных точек, необходимых для вычисления интеграла с заданной точностью, не зависит от размерности вектора ξ и техника HSS наиболее

эффективна по сравнению со всеми подобными подходами. При этом даже метод HSS требует нескольких сотен аппроксимационных точек для получения разумной точности вычисления интеграла.

Техника Монте-Карло для оценки многомерного интеграла достаточно проста. Пусть имеется последовательность, состоящая из N векторов ξi , имеющих плотность распределения вероятностей P(ξ) . Тогда интеграл можно вычислить по формуле

В качестве аппроксимационных точек можно использовать номинальную точку и все критические точки, получаемые в итерациях этого метода. Весовой коэффициент, соответствующий номинальной точке, выбирался равным 0,5, остальные коэффициенты выбирались равными 0,5 / (n – 1).

Видно, что выбор множества аппроксимационных точек в данном случае достаточно субъективен. В связи с этим рассмотрим более объективный подход к построению целевой функции в ДЗИП1. В каждой задаче можно выделить три

характерные точки. Первая точка – номинальная точка ξN . Если распределение

(неизвестное) является симметричным, то это наиболее вероятная точка. Вторая и третья точки соответствуют точкам с наилучшим и наихудшим значениями функции при фиксированных a, d, z . На основе этих точек можно сформулиро-

вать три целевые функции и три внутренние задачи оптимизации ДЗИП:

228 Глава 7. НОВЫЕ ПОДХОДЫ К АППАРАТУРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМУ ОФОРМЛЕНИЮ…

На основе этих внутренних задач сформируем следующие три варианта ДЗИП:

Ci = min Ci (a, d), i =1, 2, 3 ;

a,d

χ1(a, d) ≤ 0 .

Существуют неравенства C2 ≤ C ≤ C3 , где C получается решением ДЗИП1

для любого набора аппроксимационных точек и весовых коэффициентов. Таким образом, решив задачу ДЗИП для вариантов i = 2, 3, можно оценить диапазон,

в котором будет лежать оптимальное значение целевой функции ДЗИП1.

Для устранения трудоемкой операции вычисления многомерного интеграла при решении задачи ДЗИП1 используем формулировку двухэтапной задачи оптимизации, в которой минимизируется верхняя граница целевой функции. Введем семейство Ξ областей Ξα , обладающих свойством

Pr{ξ Ξα} = α .

Тогда эта задача может быть записана следующим образом:

Обозначим решение этой задачи через a , d , z (ξ), u , Ξα . Поскольку огра-

ничение C(a , d , z (ξ), ξ) − u ≤ 0 удовлетворяется в каждой точке области Ξα , то вероятность удовлетворения этого неравенства равна α . Это означает, что с вероятностью α целевая функция будет меньше, чем u .

ДВУХЭТАПНОЕИНТЕГРИРОВАННОЕПРОЕКТИРОВАНИЕХТСВУСЛОВИЯХИНТЕРВАЛЬНОЙ… 229

Рассмотрим задачу получения верхней оценки величины u . Для этого выберем какую-либо одну область Ξ1α из семейства Ξ и решим задачу (7.59) – (7.61) при фиксированной области Ξα = Ξ1α

min u ;

a,d , z(ξ),u

max C(a, d, z(ξ), ξ) ≤ u , χ1(a, d) ≤ 0 .

Пусть получено оптимальное значение u1 . Поскольку взята произвольная область из семейства Ξ , то имеет место соотношение u1 ≥ u . Таким образом,

с вероятностью α целевая функция будет меньше, чем u1 . Поскольку при α =1 семейство Ξ состоит из одной области Ξ , то в этом случае получается точное

решение. Отсюда ясно, что чем ближе α к единице, тем ближе u1 к u .

Если параметры ξi не являются независимыми, но имеют нормальное распределение, то область Ξα является многомерным эллипсоидом.

Структура задачи (7.59) – (7.61) близка к структуре ДЗИП1 и не требует вычисления многомерных материалов, но трудоемкость ее решения будет намного меньше трудоемкости решения ДЗИП1.

При интегрированном проектировании возможно оценить средние потери энергии, связанные с необходимостью выполнения регламентных требований, проектных ограничений и неточности исходной математической модели ХТС – y = (a, d, z, ξ) . Пусть a , d – решение задачи ДЗИП1, а z (a , d , ξ) – реше-

ние внутренней задачи (7.17) при фиксированных a , d и параметре ξ. Чтобы поддерживать значение управляющей переменной на уровне z (a , d , ξ) , необходимо расходовать энергию. Например, если zl – температура, то необходимо

тепло, чтобы поддерживать температуру zl ; если zl – расход некоторого потока, то необходима энергия для насоса или компрессора, поддерживающего требуемое значение потока. Таким образом, величина z (a , d , ξ) непосредственно связана с потребляемой энергией. Предположим, что потребляемая энергия пропорциональна величине z (a , d , ξ) с коэффициентом пропорциональности ki.

230 Глава 7. НОВЫЕ ПОДХОДЫ К АППАРАТУРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМУ ОФОРМЛЕНИЮ…

Тогда среднее потребление энергии, связанное с реализацией оптимального значения i-й управляющей переменной, определяется величиной

nz

I = ∫∑ki zi (a , d , ξ) P(ξ) dξ .

Ξ i=1

В этом случае аналогично коэффициентам запаса конструктивных переменных можно ввести понятие энергетического коэффициента запаса ηE :

ηE = (I − IN ) IN ,

где IN – потребляемая энергия при номинальных значениях неопределенных параметров.

Двухэтапная задача оптимизации с мягкими (вероятностными) ограничениями

Предположим, что на этапе функционирования ХТС можно определить точные значения всех неопределенных параметров, при этом все ограничения являются мягкими и должны быть выполнены с заданной вероятностью ρ.

В качестве критерия оптимизации в задаче ДЗИП2 как и в задаче ДЗИП1 используем математическое ожидание исходной целевой функции С(a, d, z, ξ)

конструктивных и режимных переменных); Pr{•}− вероятность выполнения огра-

ничения {•}; g0 , g j − функции ограничений; g0 (a, d, z(ξ), ξ) = С(a, d, z(ξ), ξ) – целевая функция (критерий) задачи оптимизации; ρ0 , ρ j −заданные значения вероятности выполнения ограничений.