основы проектирования хим произв дворецкий

ДВУХЭТАПНОЕИНТЕГРИРОВАННОЕПРОЕКТИРОВАНИЕХТСВУСЛОВИЯХИНТЕРВАЛЬНОЙ… 211

дого a A, d D и ξ Ξ. Поэтому задача (7.18) должна быть дополнена услови-

ем гибкости χ1(a, d) = max min max g j (a, d, z, ξ) ≤ 0 , т.е.

ξ Ξ z j J

C1 = min M ξ {C (a, d, ξ)};

a,d

χ1(a, d) ≤ 0 .

В результате получаем другую постановку задачи ДЗИП1:

C1 = a,mind , z(ξ) Ξ∫C(a, d, z(ξ), ξ) P(ξ) dξ); g j (a, d, z(ξ), ξ) ≤ 0, j =1, ..., m, ξ Ξ ;

χ1(a, d) = max min max g j (a, d, z, ξ) ≤ 0 .

ξ Ξ z j J

∑ωi =1 . Кроме того, заменим бесконечное число ограничений конечным чис-

i I1

В случае, если функции распределения неопределенных параметров неизвестны, аппроксимационные точки желательно выбирать таким образом, чтобы они попадали в область наиболее вероятных значений, которые параметры ξ могут принимать при функционировании ХТС, и достаточно плотно покрывали область Ξ. В некоторых случаях ДЗИП решается без ограничений

χ1(a, d) = max min max g j (a, d, z, ξ) ≤ 0 :

ξ Ξ

212 Глава 7. НОВЫЕ ПОДХОДЫ К АППАРАТУРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМУ ОФОРМЛЕНИЮ…

g(a, d, zi , ξi ) ≤ 0 , i I2 .

Здесь множество I2 содержит аппроксимационные и некоторые дополнительные (критические) точки. Эта постановка задачи оправдана только в случае, когда аппроксимационные точки достаточно плотно покрывают область Ξ.

Это требует большого числа аппроксимационных точек даже для сравнительно малой размерности nξ вектора ξ. Если число узловых точек по каждой компо-

ненте вектора ξ равно p, то число аппроксимационных точек будет равно pnξ .

В этом случае размерность задачи будет равна na + nd + pnξ nz . В случае когда число аппроксимационных точек невелико, использование ограничения χ1(a, d) ≤ 0 совершенно необходимо, так как это гарантирует выполнение огра-

g j (a, d, zi , ξi ) ≤ 0 , j J , i I1 ;

zj J j (a, d, z, ξ) ≤ 0 , ξ Ξ .

Вслучае, если функции распределения неопределенных параметров неизвестны, аппроксимационные точки желательно выбирать таким образом, чтобы они попадали в область наиболее вероятных значений, которые параметры ξ могут принимать при функционировании ТС и достаточно плотно покрывали

g(a, d, zi , ξi ) ≤ 0 , i I2 .

Здесь множество I2 содержит аппроксимационные и некоторые дополнительные (критические) точки. Эта постановка задачи оправдана только в случае, когда аппроксимационные точки достаточно плотно покрывают область Ξ.

Пусть [a , d , zi ] − решение задачи (7.22) – (7.24). Обозначим через SΞ бесконечное множество точек, содержащихся в области Ξ , и через SA.P −множест-

ДВУХЭТАПНОЕИНТЕГРИРОВАННОЕПРОЕКТИРОВАНИЕХТСВУСЛОВИЯХИНТЕРВАЛЬНОЙ… 213

во точек ξp , которым соответствуют активные ограничения в точке решения задачи (7.22) – (7.24):

SA.P ={ξp : h(a , d , ξp ) = 0 , ξp Ξ} .

Назовем эти точки активными. Из теоремы П.7 [38] следует, что решение [a , d , zi ] задачи (7.22) – (7.24) естьрешение(локальный минимум) задачи

I1 = mini ∑ωi C(a, d, zi , ξi ) ;

a, d , z i I1

g j (a, d, zi , ξi ) ≤ 0 , j J , i I1 ;

h(a, d, ξp ) = min max g j (a, d, z, ξp ) = 0 , ξp S A.P .

z j J

Определим нижнюю границу для задачи (7.22) – (7.24). Для этого введем некоторое произвольное множество точек S2 ={ξl : l I2 , ξl Ξ} , из области неопределенности Ξ , где I2 −множество индексов точек в S2 . Точки S2 назовем

критическими точками. Рассмотрим задачу

в конкретном алгоритме, получено добавлением одной или нескольких точек к множеству критических точек S2(k ) , тогда I1L,(k +1) ≥ I1L,(k ) .

Действительно, так как S2(k ) S2(k +1) , то соотношение I1L,(k +1) ≥ I1L,(k ) следу-

ет из теоремы П.1 [38]. Таким образом, добавление точек к исходному множеству критических точек не ухудшает нижнюю границу, а в большинстве случаев ее улучшает.

Если множество критических точек ξl , принадлежащих множеству S2(k ) , покрывает достаточно плотно область Ξ , то решение задачи (7.25) – (7.27) достаточно близко к решению задачи ДЗИП1, таким образом I1 − I1L,(k ) ≤ ε , где ε – достаточно малая положительная величина.

214 Глава 7. НОВЫЕ ПОДХОДЫ К АППАРАТУРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМУ ОФОРМЛЕНИЮ…

Сравним задачи (7.25) – (7.27) и (7.31) – (7.33). Прямое решение задачи (7.25) – (7.27) требует использования методов недифференцируемой оптимизации, так как функция h(a, d, ξ) недифференцируема. В свою очередь, задача

(7.31) – (7.33) является задачей дифференцируемой оптимизации и для ее решения могут быть использованы высокоэффективные методы нелинейного программирования.

Верхняя граница для ДЗИП1. Пусть область Ξ разбита на Nν подобластей

Ξi(ν) (Ξi(ν) ={ξ: ξL,i,(ν) ≤ ξ ≤ ξU ,i,(ν)}) , причем Ξ = Ξ1(ν) U...UΞ(Nνν) , где ν − номер итерации алгоритма решения задачи ДЗИП1. Заменим в задаче ДЗИП1 одно

ДВУХЭТАПНОЕИНТЕГРИРОВАННОЕПРОЕКТИРОВАНИЕХТСВУСЛОВИЯХИНТЕРВАЛЬНОЙ… 215

называть точку ξ j,(l) активной, если соответствующее неравенство (7.39) является активным в точке решения задачи (7.37), т.е. g j (a(ν) , d (ν) , zl,(ν) , ξ j,(l) ) = 0 .

Введем множество активных точек SA(ν.P) задачи (7.37) – (7.39):

SA(ν.P) = {ξl, j : g j (a(ν) , d (ν) , zl,(ν) , ξ j,(l) ) = 0, l =1, ..., Nν, j =1, ..., m }.

Будем называть область Ξl(ν) активной, если ей соответствует хотя бы одно равенство g j (a(ν) , d (ν) , zl,(ν) , ξ j,(l) ) = 0 . Активной области с номером l соответ-

ствует условие χ1U,l (a, d) = 0 . Ясно, что число активных областей не может быть

больше размерности вектора конструктивных параметров. Используя теорему П.6 [38], можно записать задачу (7.37) – (7.39) в виде

Задача (7.34) – (7.36) имеет следующие свойства:

1)величина С1U ,(ν) является верхней границей оптимального значения целевой функции ДЗИП1;

2)дробление некоторых подобластей множества Ξ( p) не ухудшает верхнюю границу ДЗИП1, а в большинстве случаев даже ее улучшает;

216Глава 7. НОВЫЕ ПОДХОДЫ К АППАРАТУРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМУ ОФОРМЛЕНИЮ…

3)если разбить область Ξ на достаточно малые подобласти Ξi(ν) , то решение задачи (7.34) – (7.36) будет достаточно близко к решению задачи ДЗИП1:

lim CU ,(ν) = C1 ;

r(Ξi(ν) )→0 1

4) если размеры всех подобластей Ξi(ν) стремятся к нулю, то согласно свой-

ству 3 задача (7.34) – (7.36) стремится к ДЗИП1 и ограничения (7.39) превращаются в ограничения h(a, d, ξ) ≤ 0, ξ Ξ . Поэтому множество активных точек

S A(ν.P) задачи (7.37) – (7.39) стремится к множеству активных точек ДЗИП1.

Рассмотрим алгоритм вычисления верхней границы оптимального значения целевой функции ДЗИП1 (решения задачи (7.37) – (7.39)). Обозначим через

S2(kl , p) множество критических точек, принадлежащих подобласти Ξl(ν) , где p − номер итерации в алгоритме внешней аппроксимации решения задачи (7.37) – (7.39); ν – номер итерации в алгоритме решения задачи ДЗИП1.

Множество S2(kl , p) образуется автоматически при решении задачи (7.34) –

(7.36). Пусть S2(ν, p) = S2(ν,1, p) US2(ν,2, p) U...US2(ν,N, pν) .

В алгоритме используем решение вспомогательной задачи:

Задача (7.40) – (7.42) дает нижнюю границу оптимального значения целевой функции задачи (7.37) – (7.39). Сравним задачу (7.40) – (7.42) с задачей, дающей нижнюю границу оптимального значения целевой функции ДЗИП1 (см. задачу

(7.25) – (7.27)). В задаче (7.40) – (7.42) один вектор zl соответствует всем точкам ξl,q , принадлежащим множеству S2(ν,l, p) , в то время как в задаче (7.31) – (7.33)

каждой точке ξi соответствует единственный вектор zi . Приведем описание ал-

горитма вычисления верхней границы оптимального значения целевой функции ДЗИП1 (решения задачи (7.37) – (7.39)).

Алгоритм 7.4.

Шаг 1. Положим p =1 . Зададим множество подобластей Ξl(ν) (l =1, ..., Nν )

(число ν фиксировано, следовательно, число подобластей и их размеры остаются постоянными в этом алгоритме). Зададим начальные значения zi,(0) , zl,(0) , a(0) , d (0) (i I1, l =1, ..., Nν ) соответствующих переменных и достаточно малое число ε > 0 .

ДВУХЭТАПНОЕИНТЕГРИРОВАННОЕПРОЕКТИРОВАНИЕХТСВУСЛОВИЯХИНТЕРВАЛЬНОЙ… 217

Шаг 2. Сформируем начальное множество S2(ν,l,1) критических точек для всех

Если все неравенства выполняются, решение задачи (7.37) – (7.39) получено, перейти к шагу 9; в противном случае перейти к шагу 6.

Шаг 6. Создадим множества Rl,( p) (l =1, ..., Nν ) точек ξl, j,( p) , для которых

где pˆ – есть номер последней итерации этого алгоритма.

Перейдем к описанию алгоритма решения ДЗИП1 в следующей постановке:

218 Глава 7. НОВЫЕ ПОДХОДЫ К АППАРАТУРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМУ ОФОРМЛЕНИЮ…

Задача (7.43) – (7.45) имеет вид задачи полубесконечного программирования и для ее решения можно использовать алгоритм внешней аппроксимации.

Вначале рассмотрим упрощенную задачу полубесконечного программирования:

где Ξ = {ξ: ξL ≤ ξ ≤ ξU }. Преобразуя ограничения задачи с помощью соотноше-

ния max g(x) ≤ 0 g(x) ≤ 0 , x X , получим задачу

x X

С = min C(x) ,

x X

g j (x, ξ) ≤ 0, j =1, ..., m; ξ Ξ ,

в которой число поисковых переменных конечно, а число ограничений бесконечно. Введем понятие множества критических точек S ( p) ={ξi : ξi Ξ, i I ( p)},

где I ( p) − множество индексов точек ξi . Оно используется в алгоритме для по-

строения некоторой аппроксимации ограничений в задаче полубесконечного программирования (7.47).

Алгоритм внешней аппроксимации.

Шаг 1. Положим p =1 . Задаем начальное значение x(0) и начальное мно-

жество критических точек S (0) . Шаг 2. Решаем задачу

и пусть ξ(jp) ( j =1, ..., m) − решения этих задач.

ДВУХЭТАПНОЕИНТЕГРИРОВАННОЕПРОЕКТИРОВАНИЕХТСВУСЛОВИЯХИНТЕРВАЛЬНОЙ… 219

Если все эти условия выполняются, то решение найдено.

Шаг 5. Сформируем множество R( p) , которое содержит все точки ξ(jp) , в которых условия нарушаются:

R( p) = {ξ(jp) : g j (x( p) , ξ(jp) ) > 0, j =1, ..., m }.

Шаг 6. Сформируем новое множество критических точек

S ( p) = S ( p−1) UR( p) .

Шаг 7. Полагаем p = p +1 и переходим к шагу 2.

Этот алгоритм дает решение задачи (7.46)–(7,47), если операции на шагах 2 и 3 выполняются в глобальном смысле.

На каждой итерации этот алгоритм выполняет две основные операции. Первая операция связана с определением нижней границы целевой функции за-

дачи (7.46)–(7,47). Вторая операция связана с проверкой, является ли точка x( p) решением задачи (7.46)–(7,47). Здесь алгоритм решает задачу (7.48) m раз. Если условие (7.49) удовлетворяется, то решение задачи (7.46)–(7,47) найдено.

В противном случае точки ξ(jp) , в которых условия (7.49) нарушаются, добавля-

ются в множество S ( p) .

Существенный недостаток описанного алгоритма состоит в необходимости решения m задач (7.48) на каждой итерации. Можно заменить m задач максимизации (7.48) одной задачей максимизации функции F(g) :

max F(g) ,

Теперь вернемся к решению задачи (7.43) – (7.45). Она имеет вид задачи полубесконечного программирования и для ее решения можно использовать описан-

ный выше алгоритм внешней аппроксимации. Поскольку max h(a, d, θ) = χ1(a, d ) ,

ξ Ξ

то на каждой итерации необходимо вычислять функцию гибкости χ1(a, d) (шаг 3 алгоритма внешней аппроксимации).

220 Глава 7. НОВЫЕ ПОДХОДЫ К АППАРАТУРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМУ ОФОРМЛЕНИЮ…

чальное множество критических точек S2(0) , начальные приближения a(0) , d (0) и

достаточно малое число ε > 0 .

Шаг 2. Решаем задачу (7.28) – (7.30) для определения нижней границы С1L,(ν) оптимального значения величины C1 . Пусть a(ν) , d (ν) − решение этой задачи.

Шаг 3. Находим значение χ1(a(ν) , d (ν) ) и пусть ξ(ν) – решение этой задачи.

Шаг 4. Если выполняется условие χ1(a(ν) , d (ν) ) ≤ 0 , то решение найдено.

В противном случае находим точку ξ(ν) , для которой нарушаются ограничения g j (a(ν) , d (ν) , ξ(ν) ) > 0, j =1, ..., m , и переходим к шагу 5.

Шаг 5. Образуем новое множество критических точек S2(ν+1) , добавляя точ-

ку ξ(ν) к множеству S2(ν) : S2(ν+1) = S2(ν) U{ξ(ν) }. Шаг 6. Полагаем ν = ν +1 и переходим к шагу 2.

Для вычисления значения χ1(a(ν) , d (ν) ) функции гибкости можно использовать метод ветвей и границ. Можно использовать на шаге 3 следующее прибли-