5. Алгебраические дополнения.

Алгебраическим дополнением элемента   матрицы   называется число

,

где   — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы   путем вычёркивания i-й строки и j -го столбца.

Дополнительный минор   квадратной матрицы   порядка   ( ) — определитель матрицы, полученной из исходной вычеркиванием   строк и   столбцов.

Иногда дополнительным минором называют не определитель, а саму матрицу (основной минор) , полученную из исходной вышеуказанным способом.

Дополнительный минор произвольного элемента   квадратной матрицы   — дополнительный минор  . Каждый элемент квадратной матрицы имеет свой дополнительный минор.

Имеет место разложение по строке:

Определитель матрицы равен  ,    где   — дополнительный минор к элементу  .

6 Теорема разложения.

Формулировка[

Для начала, введём несколько определений.

Пусть   — матрица размера  , и пусть выбраны любые   строк матрицы   с номерами   и любые   столбцов с номерами  .

Определитель матрицы, получаемой из   вычеркиванием всех строк и столбцов, кроме выбранных, называется минором  -го порядка, расположенным в строках с номерами   и столбцах с номерами  . Он обозначается следующим образом:

А определитель матрицы, получаемой вычеркиванием только выбранных строк и столбцов из квадратной матрицы, называется дополнительным минором к минору  :

где   и   — номера невыбранных строк и столбцов.

Алгебраическое дополнение минора   определяется следующим образом:

где  ,  .

Справедливо следующее утверждение.

Теорема Лапласа Пусть выбраны любые   строк матрицы  . Тогда определитель матрицы   равен сумме всевозможных произведений миноров  -го порядка, расположенных в этих строках, на их алгебраические дополнения. где суммирование ведётся по всевозможным номерам столбцов

Число миноров, по которым берётся сумма в теореме Лапласа, равно числу способов выбрать   столбцов из  , то есть биномиальному коэффициенту  .

Так как строки и столбцы матрицы равносильны относительно свойств определителя, теорему Лапласа можно сформулировать и для столбцов матрицы.

7. Матрицы. Определение.

Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы.

8. Основные типы матриц.

Матрицы. Основные определения и типы матриц

Определение 1. Матрицей A называется любая прямоугольная таблица, составленная из чисел a_ij, которые называют элементами матрицы и обозначается

( 2.1)

Заметим, что элементами матрицы могут быть не только числа. Представим себе, что вы описываете книги, которые стоят на вашей книжной полке. Пусть у вас на полке порядок и все книги стоят на строго определенных местах. Таблица, которая будет содержать описание вашей библиотеки (по полкам и следованию книг на полке), тоже будет матрицей. Но такая матрица будет не числовой. Другой пример. Вместо чисел стоят разные функции, объединенные между собой некоторой зависимостью. Полученная таблицатакже будет называться матрицей. Иными словами, Матрица, это любая прямоугольная таблица, составленная из однородныхэлементов. Здесь и далее мы будем говорить о матрицах, составленных из чисел.

Вместо круглых скобок для записи матриц применяют квадратные скобки или прямые двойные вертикальные линии

( 2.1*)

Определение 2. Если в выражении (1) m = n, то говорят о квадратной матрице, а если  , то о прямоугольной.

В зависимости от значений m и n различают некоторые специальные виды матриц:

1. Матрица - строка (или строковая матрица), состоящая из одной строки. Это прямоугольная матрица размером 1 x n.

A=(a₁₁ a₁₂ ... a_n).

2. Матрица - столбец ( столбцевая матрица), состоящая только из одного столбца. Это также прямоугольная матрица размером m x 1

3. Матрица, состоящая из одного элемента. A=(a₁₁)_1x1=a₁₁.

4. Нулевая матрица, состоящая из одних нулей, в матричной алгебре играет роль 0, обозначается V.

5. Единичная матрица, состоящая из нулей, кроме главной диагонали, на которой стоят единицы. Обозначается E и играет роль единицы в матричной алгебре

6. Диагональная матрица, квадратная порядка n, состоящая из нулей и на главной диагонали стоят не равные нулю элементы (не обязательно единицы)

Важнейшей характеристикой квадратной матрицы является ее определитель или детерминант, который составляется из элементов матрицы и обозначается

Очевидно, что D_E=1 ;  .

Определение 3. Если  , то матрица A называется невырожденной или не особенной.

Определение 4. Если detA = 0, то матрица A называется вырожденной или особенной.

Определение 5. Две матрицы A и B называются равными и пишут A = B, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны, т.е.

Например, матрицы   и   равны, т.к. они равны по размеру и каждый элемент одной матрицы равен соответствующему элементу другой матрицы. А вот матрицы   и   нельзя назвать равными, хотя детерминанты обеих матриц равны, и размеры матриц одинаковые, но не все элементы , стоящие на одних и тех же местах равны. Матрицы   и   разные, так как имеют разный размер. Первая матрица имеет размер 2х3, а вторая 3х2. Хотя количество элементов одинаковое – 6 и сами элементы одинаковые 1, 2, 3, 4, 5, 6, но они стоят на разных местах в каждой матрице. А вот матрицы   и   равны, согласно определению 5.

Определение 6. Если зафиксировать некоторое количество столбцов матрицы A и такое же количество ee строк, тогда элементы, стоящие на пересечении указанных столбцов и строк образуют квадратную матрицу n - го порядка, определитель которой   называется минором k – го порядка матрицы A.

Пример. Выписать три минора второго порядка матрицы

Решение.  .