2.6 Исследование функций

Пример 2.5– Найти все экстремумы функцииy= 0,25x+sinx– 1 и все решения уравнения 0,25x+sinx– 1 = 0 для 0 ≤x≤ 10.

В данном случае функция может иметь несколько экстремумов (как минимумов, так и максимумов), а уравнение – несколько решений. Поэтому следует сначала построить график функции y= 0,25x+sinx– 1, чтобы приближенно определить, где находятся экстремумы и пересечения с осьюx(т.е. решения уравнения 0,25x+sinx– 1 = 0). Затем необходимо найти каждый экстремум и каждое решение уравнения отдельно, используя программуПоиск решения.

Построение графика функции

1. Перейти на новый рабочий лист. Ввести в ячейку A1 подпись “x”, в ячейкуB1 – подпись “y”.

2. В ячейку A2 ввести число 0, в ячейкуA3 – число 0,1. Выделить ячейкиA2 иA3. С помощью мыши распространить их содержимое на ячейкиA4:A102. В результате в ячейкахA2:A102 будут получены числа (значения переменной x) от 0 до 10 с шагом 0,1.

3. В ячейку B2 ввести формулу:=0,25*A2+SIN(A2)–1. Распространить ее на ячейкиB3:B102. В результате в ячейкахB2:B102 будут получены значенияy= 0,25x+sinx– 1 дляxот 0 до 10 с шагом 0,1.

4. По значениям xиy, указанным в ячейкахA2:A102 иB2:B102, построить диаграмму с графиком функцииy= 0,25x+sinx– 1. Тип диаграммы –Точечная, диапазон данных для построения диаграммы –A1:B102. Рабочий лист с исходными данными и диаграммой должен иметь примерно такой вид, как показано на рисунке 2.3.

Поиск экстремумов

Из графика, приведенного на рисунке 2.3, видно, что на заданном отрезке функция имеет три экстремума. Первый из них (максимум) достигается при значении переменной x, находящемся (примерно) в диапазоне от 1 до 2,5; второй (минимум) – от 4 до 5; третий (максимум) – от 7 до 9. Требуется найти каждый из этих экстремумов, используя программуПоиск решения.

Найдем первый из экстремумов. Задачу его поиска можно сформулировать так: найти максимум функции y= 0,25x+sinx– 1 приx1,x≤ 2,5.

1. Выбрать любую свободную ячейку для определения значения переменной xв точке экстремума. Пусть для этого выбрана, например, ячейка D25.

2. В любую свободную ячейку ввести формулу для вычисления значения yв точке экстремума. Пусть для этого выбрана, например, ячейкаD26. В нее необходимо ввести формулу:=0,25*D25+SIN(D25)–1.

Рисунок 2.3 – График функции y = 0,25x+sin x – 1

3. Выбрать элемент меню Сервис – Поиск решения. В окнеПоиск решенияввести следующее:

• в поле Установить целевую ячейкууказать ячейку с формулой функции, для которой определяется экстремум:D26;

• установить переключатель Равной максимальному значению, так как в данном случае определяется точка максимума;

• в поле Изменяя ячейкиуказать ячейку, в которой должно быть получено значение переменнойx: D25;

• в области Ограниченияввести ограничения на значение переменнойx. Для этого нажать кнопкуДобавить. Введем сначала ограничениеx1. С этой целью в появившемся окнеДобавление ограниченияв полеСсылка на ячейкуследует указать ячейкуD25. В среднем поле выбрать знак “больше или равно” (>=). В полеОграничениеуказать число 1. Для ввода ограничения нажать кнопкуДобавить. Чтобы ввести второе ограничение (x≤ 2,5), требуется в полеСсылка на ячейкуввестиD25, в поле знака – знак <=, в полеОграничение– число 2,5. Затем нажатьOK;

• нажать кнопку Выполнить.

4. После появления окна с сообщением о том, что решение найдено, установить переключатель Сохранить найденное решение и нажать OK. В ячейкуD25 выводится найденное значениеx, а в ячейкуD26 – соответствующее ему значениеy. В данном примере в ячейкеD25 должно быть получено (округленно) значение 1,82, а в ячейкеD26 – значение 0,42. Таким образом, первый (на отрезке 0 ≤x≤ 10) максимум функцииy= 0,25x+sinx– 1 достигается приx= 1,82, при этомy= 0,42.

Рассмотрим поиск второго экстремума. Задачу его поиска можно сформулировать так: найти минимумфункцииy= 0,25x+sinx– 1 приx4,x≤ 5.

Пусть для поиска значения xвыбрана ячейкаF25 (конечно, можно выбрать и любую другую свободную ячейку). Пусть в ячейкуF26 введена формула для вычисленияy: =0,25*F25+SIN(F25)–1. В окнеПоиск решениянеобходимо указать следующее: в полеУстановить целевую ячейкууказатьF26; установить переключательРавной минимальному значению; в полеИзменяя ячейкиуказатьF25; в областиОграниченияуказать ограниченияF25 >= 4, F25 <= 5. Результат должен быть следующим:x= 4,46,y= –0,85.

Третий экстремум (максимум) предлагается найти самостоятельно. Результат должен быть следующим: x= 8,11,y= 1,99.

Поиск решений уравнения

Из графика, приведенного на рисунке 2.3, видно, что на заданном отрезке уравнение 0,25x+sinx– 1 = 0 имеет три решения. Первое из них находится (примерно) в диапазоне от 0,5 до 1,5; второе – от 2,5 до 3,5; третье – от 5 до 6.

Рассмотрим поиск первого решения. Задачу его поиска можно сформулировать так: решить уравнение 0,25x+sinx– 1 = 0 приx0,5,x≤ 1,5.

Пусть для поиска значения xвыбрана ячейкаD30 (конечно, можно выбрать и любую другую свободную ячейку). Пусть в ячейкуD31 введена формула для вычисленияy: =0,25*D30+SIN(D30)–1. В окнеПоиск решениянеобходимо указать следующее: в полеУстановить целевую ячейкууказатьD31; установить переключательРавной значению, и в поле рядом с этим переключателем указать значение 0; в полеИзменяя ячейкиуказатьD30; в областиОграниченияуказать ограниченияD30 >= 0,5, D30 <= 1,5. В результате в ячейкеD30 должно быть получено значение 0,89, а в ячейкеD31 – значение, очень близкое к нулю. Это означает, что 0,25x+sinx– 1 = 0 приx= 0,89.

Аналогично определяются два других решения. Они должны быть следующими: x= 2,85;x= 5,81.