+Аналитическая геометрия на плоскости

Первая задача аналитической геометрии – представление геометрической фигуры уравнением или неравенством, системой уравнений или неравенств на основе применения координат. Вторая задача аналитической геометрии – исследовать, какие геометрические фигуры представляются теми или иными уравнениями.

Пусть   – функция двух вещественных переменных   и  . Уравнение   задает линию или кривую, если

1. координаты каждой точки линии удовлетворяют этому уравнению и

2. координаты точки, не принадлежащей линии, не удовлетворяют

этому уравнению.

При этом уравнение может задавать точку, отрезок или пустое множество. Уравнение называется алгебраическим степени  , если его левая часть представляет собой многочлен степени   относительно  и   с численными коэффициентами.

Упражнения

Циклоидой называется траектория, описываемая точкой   окружности радиуса r, катящейся без скольжения по данной прямой  . Приняв прямую за ось абсцисс, а начальное положение точки   за начало координат, напишите уравнение циклоиды и постройте ее.

Пусть   - произвольная точка циклоиды,   - центр катящейся окружности, а   - основание перпендикуляра, опущенного из точки   на ось абсцисс. Примем в качестве параметра угол, который образует луч   с лучом   т. е.  . Если   - основание перпендикуляра, опущенного из точки   на ось абсцисс, а   - основание перпендикуляра, опущенного из точки   на ось ординат, то Получили следующее параметрическое задание циклоиды Исключив  , получим уравнение циклоиды в прямоугольных декартовых координатах. Циклоида - линия периодическая с периодом 

Параметрическое задание:  . В декартовых координатах:  .

Старт! Использовать другую сторону кривой

Радиус:  OK

Эпициклоидой называется траектория, описываемая точкой   окружности радиуса  , катящейся без скольжения по внешней стороне другой окружности радиуса  . Примем центр   неподвижной окружности за начало прямоугольной декартовой cистемы координат, а за параметр - угол  , где   - центр катящейся окружности,   - точка на положительной полуоси  . Напишите параметрическое уравнение эпициклоиды.

Старт! Использовать другую сторону кривой

Радиус:  OK

Кардиоидой называется кривая в частном случае, когда  . Напишите уравнение кардиоиды и постройте ее.

Старт! Использовать другую сторону кривой

Радиус:  OK

Гипоциклоидой называется траектория, описываемая точкой   окружности радиуса   катящейся без скольжения по внутренней стороне окружности радиуса  . Примем центр   неподвижной окружности за начало прямоугольной декартовой системы координат, а за параметр - угол  , где   - центр катящейся окружности,   - точка на положительной полуоси  . Напишите параметрическое уравнение гипоциклоиды.

Старт! Использовать другую сторону кривой

Радиус:  OK

Астроидой называется кривая в частном случае, когда   Напишите уравнение астроиды и постройте ее.

Старт! Использовать другую сторону кривой

Радиус:  OK

Дана прямая   и точка  , отстоящая от нее на расстоянии  . Через точку   проводятся всевозможные прямые, на каждой из которых от точки   пересечения с прямой   откладывается в обе стороны отрезок, равный  . Геометрическое место концов этих отрезков называется конхоидой Никомеда. Примем точку  за полюс полярной системы и направим полярную ось перпендикулярно к прямой  . Напишите уравнение конхоиды Никомеда и постройте ее.

Пусть   - произвольная прямая, проходящая через   и пересекающая прямую   в точке  . Точки   и  , лежащие на этой прямой и отстоящие от точки   на расстоянии  , принадлежат искомому геометрическому месту точек. Если   и   - обобщенные полярные координаты точек   и  , то

В обобщенной полярной системе кривая задается уравнением 

a: 

b: 

OK

Конхоидой данной кривой называется кривая, получающаяся при увеличении или уменьшении полярного радиуса каждой точки данной кривой на постоянный отрезок. Улиткой Паскаля называется конхоида окружности, если за полюс   выбрана точка на окружности. Напишите уравнение улитки Паскаля, приняв диаметр, проходящий через точку  , за полярную ось.

Если   - уравнение данной кривой в полярных координатах, то   - уравнение конхоиды, где  - отрезок, который откладывается от точек кривой.

Если   - радиус данной окружности, а   - постоянный отрезок, который откладывается на полярном радиусе, и если  , то улитка Паскаля является кардиоидой. Докажите это.

r: 

b: 

OK

Овалом Кассини называется геометрическое место точек плоскости, для которых произведение расстояний до двух фиксированных точек этой плоскости постоянно. Пусть   и   - фиксированные точки,   - постоянное число и  . Примем направленную прямую   за ось абсцисс, а середину отрезка   за начало координат. Напишите уравнение овала Кассини.

Для   и   соотношение   запишется так:  После элементарных преобразований получим Отсюда

При   овал Кассини - замкнутая линия. При   линия состоит из пары обособленных овалов.

c: 

b: 

OK

Лемнискатой Бернулли называется овал Кассини в частном случае, когда  . Напишите уравнение лемнискаты Бернулли и постройте ее.

Четырехлепестковой розой называется геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из вершины прямого угла на отрезок постоянной длины, который перемещается своими концами по сторонам прямого угла. Приняв за полюс полярной системы координат вершину прямого угла и направим полярную ось по одной из сторон прямого угла. Длина отрезка  . Выведите уравнение четырехлепестковой розы и постройте ее.

a: 

OK

Луч  , исходящий из неподвижной точки  , вращается с постоянной угловой скоростью  . Точка  , имея начальное положение в точке  , движется по лучу   равномерно со скоростью  . Траектория точки  называется спиралью Архимеда. Примем   за полюс. Напишите уравнение спирали Архимеда в полярной системе координат и постройте ее.

, где  .

v: 

w: 

OK

Пусть   - диаметр некоторой окружности, а   - касательная к окружности, проведенная в конце диаметра. Через точку   проведена прямая, пересекающая окружность в точке  , а касательную   в точке  . На луче   от точки   отложен отрезок  . Геометрическое место точек   называется циссоидой Диоклеса. Приняв точку   за полюс полярной системы координат и направив ось по лучу  , выведите полярное уравнение циссоиды. Запишите уравнение в прямоугольной декартовой системе.

a: 

OK

Даны диаметрально противоположные точки   и   окружности диаметра   и касательная   к окружности в точке  . Пусть   - произвольная точка окружности,   - точка пересечения прямых   и  , а   - точка пересечения прямых, проведенных через   и   и перпендикулярных соответственно прямым   и  . При движении точки   по окружности точка   описывает кривую, называемую верзиерой. Выведите уравнение верзиеры в прямоугольной декартовой системе.

Следует из соотношения 

a: 

OK

§12.1. Уравнения прямой на плоскости

Задача. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку   перпендикулярно ненулевому вектору 

Точка   принадлежит прямой   векторы   и   перпендикулярны

уравнение прямой, проходящей через данную точку   перпендикулярно ненулевому вектору   имеет вид Здесь  , так как вектор   ненулевой.

Основная теорема теории прямой на плоскости. Геометрическое место точек плоскости, координаты которых в некоторой прямоугольной декартовой системе координат удовлетворяют уравнению есть прямая, параллельная вектору   и проходящая через точку   

Доказательство. Точка   принадлежит прямой   векторы   и  параллельны   или в силу того, что  , выполняется условие

Уравнение называется общим уравнением прямой на плоскости.

Частные случаи общего уравнения. При  получим уравнение прямой, проходящей через начало координат.

При   получим уравнение прямой, параллельной оси абсцисс 

При   получим ось абсцисс  .

При   получим уравнение прямой, параллельной оси ординат 

При   получим ось абсцисс 

Пусть   - другая точка прямой. Тогда   Из уравнения   и равенства   получим уравнение прямой, проходящей через точки две данные точки, Если это точки   и   пересечения прямой с осями координат, то и получим уравнение прямой в отрезках

Ненулевой вектор, параллельный прямой, называется ее направляющим вектором. Пусть некоторый направляющий вектор данной прямой имеет координаты   и   Тогда уравнение (3) можно переписать в виде канонического уравнения прямой

Приравняв отношения к параметру   получим параметрическое уравнение прямой на плоскости Предположим, что в общем уравнении   Тогда   Введем обозначения  ,  Уравнение называется уравнением с угловым коэффициентом   и начальной ординатой   Если точка  принадлежит прямой, то   и после вычитания этого равенства из уравнения (5) получим уравнение прямой через угловой коэффициент и точку Если   - другая точка прямой, то   С другой стороны эта дробь равна тангенсу угла  наклона прямой к оси Ох, т. е. угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси абсцисс Вернемся к самой первой задаче этого параграфа.

Задача. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку   перпендикулярно ненулевому вектору 

Пусть   - начало координат, а   - произвольная точка плоскости. Вектор   называется радиусом вектором точки   Точка   принадлежит заданной прямой   когда векторы   и  перпендикулярны, т. е   Обозначив число   через  , получим векторное уравнение прямой

Упражнения

1. Докажите, что уравнение прямой, проходящей через две точки можно записать в виде

2. Докажите, что три точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

3. Через каждую вершину треугольника   проведите прямую, параллельную противоположной стороне, где  (1; -2 ),  (0; 3),  (1; 1).

4. Покажите, что четырехугольник   является трапецией, где  (-2;2),  (-3;1),   и  Составьте уравнение средней линии и диагоналей трапеции.

5. Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма   и   и точка пересечения его диагоналей  . Напишите уравнения двух других сторон параллелограмма.

6. Через точку   проведите прямую, отсекающую равные отрезки на осях координат.

7. Вершины треугольника находятся в точках   и  ; 7).

Напишите уравнение

• а) биссектрисы внутреннего угла 

• б) медианы, проведенной из вершины 

• в) высоты, опущенной из вершины  .

Даны середины сторон треугольника  , где  (2; -1 ),  (-3; -3),  (-1; 0).

Уравнение движения точки   имеет вид   Определите

• а) скорость точки  ;

• б) координаты   в момент времени  =3;

• в) в какой момент времени точка   достигнет прямой 

Найдите проекцию точки  (5, -2) на прямую 

Определите координаты точки, симметричной началу координат относительно прямой