Комбінаторні задачі

До даного класу відносяться задачі оптимізації функції, елементами якої служать вибірки з n об'єктів.

Класичним представником математичних проблем такого роду стало завдання про комівояжера. Вона полягає в складанні маршруту відвідування торговим агентом, що знаходяться в деякому початковому пункті, n інших міст за умови, що задана матриця вартостей переїздів з міста в місто.

(з урахуванням початкового). Причому допустимим є такий маршрут, який передбачає одноразове відвідування всіх міст і повернення у вихідний пункт. Очевидно, що найкращий маршрут повинен мінімізувати сумарну вартість переїздів.

Планом завдання є маршрут комівояжера, і його можна задати за допомогою так званої матриці суміжності.

Допустимими планами служать зв'язкові маршрути, однозначно визначаються впорядкованим набором відвідуваних пунктів:

Кожен такий маршрут можна ототожнити з перестановкою n чисел (впорядкованої вибіркою з n елементів по n). У свою чергу, таким

перестановок взаємно однозначно відповідають матриці X, у яких в кожному рядку і кожному стовпці міститься точно одна одиниця.

З урахуванням сказаного завдання комівояжера приймає вигляд целочисленной завдання лінійного програмування:

Умови 6 і 7 з змістовної точки зору означають, що в кожен пункт можна в'їхати і виїхати тільки один раз. Наведена форма запису задачі комівояжера 4-8 не є самої раціональної і призначена тільки для того, щоб підкреслити її спільність з іншими завданнями дискретного програмування. Існує й інша форма, яка більш яскраво відображає комбінаторний характер даної проблеми:

де D - безліч перестановок чисел від 1 до n.

Окремо слід зупинитися на тому, що завдання комівояжера має велику кількість змістовних аналогів. Скажімо, до аналогічної моделі призведе завдання розробки графіка переналагодження обладнання, яке може випускати різні типи виробів, але вимагає певних витрат (тимчасових або матеріальних) при переході з одного технологічного режиму на інший.

Завдання з перервними цільовими функціями

Як вже згадувалося вище, багато економічних систем характеризуються наявністю так званих постійних витрат, які повинні бути зроблені незалежно від обсягу виробництва. Облік в моделях цих та подібних факторів призводить до появи в них цільових функцій, що не володіють властивістю безперервності. Як приклад може бути наведена транспортна задача з фіксованими доплатами. Вона відрізняється від транспортної задачі в матричній постановці, розглянутої в розділі 3, тим, що в ній витрати з перевезення вантажу з i-го пункту виробництва в j-й пункт споживання визначаються як

де с_{i, j} - як і раніше витрати на перевезення одиниці вантажу;

d_{i, j} - фіксована доплата за оренду транспортних засобів.

За таких передумовах цільова функція сумарних витрат на перевезення.

містить "стрибкоподібні" розриви, що істотно ускладнює її мінімізацію, тому стандартний метод Розв’язання заснований на наступному перетворенні. Якщо ввести допоміжні змінні у_{i, j}, такі, що

то цільова функція набуде вигляду:

Дійсно, якщо у_{i, j} = 0, то змінні х_{i, j} = 0, а при у_{i, j} = 1 нерівності 12 стають несуттєвими, оскільки вони і так справедливі для будь-якого опорного плану. Отже, завдання 13 еквівалентна вихідній задачі 10. У силу характеру обмежень 11-12 завдання 13 є завданням частково-цілочисельного програмування.

Перераховані приклади далеко не вичерпують усього різноманіття задач дискретного програмування. Однак більш детальне їх розгляд вимагає залучення досить складного математичного апарату і виходить за рамки цієї книги.

У наступних параграфах ми зупинимося на способах розв’язання найбільш відомих і добре вивчених дискретних завдань. Викладені нижче методи не мають універсального характеру, з кожним з них пов'язані певні обмеження і, відповідно, відповідь на питання про вибір того чи іншого з них залежить від конкретних особливостей розв'язуваної задачі. Більше того, мета викладу полягає в тому, щоб створити у читача загальні уявлення про основні ідеї та підходах, не заглиблюючись далеко в обчислювальні та математичні тонкощі, якими буквально рясніють алгоритми дискретного програмування. Зауважимо також, що досить ефективний і широко застосовуваний підхід до розв’язання цілочислових задач заснований на зведенні їх до завдань транспортного типу. Це пояснюється тим, що якщо в умовах транспортної задачі значення запасів (а_i) і потреб (b_j) є цілочисельними, то цілочисловим буде і оптимальний план.