МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТРАНСПОРТНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Факультет Транспортних та інформаційних технологій

Кафедра Інформаційних систем і технологій

КУРСОВА РОБОТА

З дисципліни «Комп'ютерне моделювання в економіці»

на тему

«Задачі цілочисельного програмування. Задача про рюкзак»

Виконав:

Студент групи КН-ІІІ-1

Перевірив:

Київ-2015

Зміст

2

Вступ 3

Завдання з неподільними 6

Комбінаторні задачі 7

Завдання з перервними цільовими функціями 9

Приклад Розв’язання ЦЗЛП методом Гомори 10

Ітерація 1 11

Інтерація 2 11

Метод гілок і меж 12

Розв’язання ЦЗЛП методом гілок і меж 14

Задача про рюкзак 18

Висновки 22

Список літератури 23

Вступ

Основні поняття. Багато економічні завдання характеризуються тим, що обсяги керованих ресурсів (в силу тих чи інших об'єктивних властивостей) можуть приймати тільки цілі значення. Математична формалізація даних ситуацій призводить до моделей дискретного програмування. У загальному вигляді завдання дискретного програмування може бути сформульована як задача знаходження максимуму (або мінімуму) цільової функції f (x₁, x₂, ..., x_n) на множині D, визначеному системою обмежень.

де Ω – деяка скінчена множина. Умова х є Ω. називається умовою дискретності. Особливе місце серед дискретних завдань займає цілочисельна задача лінійного програмування в канонічній формі (ЦКЗЛП):

Нагадаємо, що прикладами лічильних множин є множини натуральних, цілих і раціональних чисел.

де Z + = {0, 1, 2; ...} - безліч невід'ємних цілих чисел.

Зауважимо, що в деяких ситуаціях вимога "цілочисельності" може бути накладено лише на деякі змінні x_j, що кардинально не змінює характеру завдання.

Принципова складність, що викликається наявністю умов цілочисельності в системі обмежень оптимізаційної задачі, полягає в тому, що в значній кількості випадків неможливо замінити дискретну задачу її безперервним аналогом і, знайшовши відповідне Розв’язання, округлити його компоненти до найближчих цілих значень. Приклад, показаний на рис.1, демонструє, що при округленні оптимального плану х * звичайної задачі ЛП до цілих значень виходить точка ([х₁ *], [x₂ *]), яка не належить області допустимих планів задачі D. Домовимося цілу частину числа х_j. позначати [х_j], а дробову - як {х_j}. Тоді х_j = [х_j] + {х_j}. Окремо слід додати, що якщо навіть оптимальний план безперервної завдання, округлений до цілих значень компонент, виявиться припустимим, то цільова функція може вести себе так, що її значення буде на ньому істотно "гірше", ніж на оптимальному плані целочисленной завдання.

Перераховані проблеми визначили необхідність розробки спеціальних методів розв’язання дискретних і цілочисельних завдань. Але перш ніж говорити власне про методи розв’язання, більш докладно зупинимося на класифікації завдань дискретного програмування. У літературі, як правило, виділяють наступні класи дискретних оптимізаційних завдань:

• Задачі з неподільними;

• екстремальні комбінаторні задачі;

• Задачі з розривними цільовими функціями;

• Задачі на незв'язних і неопуклих областях та ін.

Завдання з неподільними

У переважній більшості випадків наявність умов неподільності визначається фізичними властивостями модельованих об'єктів. Так, наприклад, вони можуть з'явитися в якості додаткових обмежень у вже розглядалася нами вище завданню виробничого планування, якщо в ній здійснюється управління випуском великої штучної продукції.

Класичним представником завдань даного класу стала так звана завдання про ранці. Її фабула носить досить умовний характер і полягає в тому, що солдат (або турист), що збирається в похід, може нести вантаж вагою не більше W кг. Цей вантаж може складатися з набору предметів n типів, кожен предмет типу j важить wj кг і характеризується деякою "корисністю" uj, j <1: n. У рамках описаної ситуації цілком природним представляється питання: скільки предметів кожного виду потрібно покласти в ранець, щоб його сумарна корисність була максимальною? Якщо в якості компонент плану хj. прийняти кількість укладаються предметів типу j, то дану задачу можна записати:

Як неважко помітити, представлена ​​математична модель носить універсальний характер, і до неї можуть бути зведені багато економічні завдання. Яскравим підтвердженням цьому служить і той факт, що в літературі вона також відома як завдання про завантаження судна.