Презентации и конспект лекции Синицын / Презентации_ВЭиМОвТС / ВычЭксперим / Лекция1
.pdf
Пример: Модель конденсатора
Простейшая модель |
C |
S |
|
||
Не учитывает |
|
d |
краевых эффектов |
|
|
|
|
+
|
|
Более сложная модель |
C |
S |
1 ( , d , S ) |
|
|
||||
|
- |
||||
|
С учетом краевых |
|
|||
|
d |
||||
|
|
||||
|
|
искажений поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
05.01.2011 |
11 |
Методы (алгоритмы) решения математических задач
•Решить задачу - это значит указать алгоритм (т.е. строгую последовательность действий) для получения требуемого результата из исходных данных
•К точным методам относятся алгоритмы, позволяющие за
конечное число действий получить в принципе (если нет ошибок округления) точное решение. Обычно оно получается в виде формулы или конечного вычислительного алгоритма.
•Приближенные - это методы, позволяющие за счет некоторых допущений свести решение исходной задачи к задаче, имеющей точное решение.
•Численные методы предполагают разработку
вычислительного алгоритма, т.е. конечной, строгой последовательности арифметических и логических действий, обеспечивающих получение решения с заданной контролируемой погрешностью.
05.01.2011 |
12 |
Как оценивается погрешность вычислений?
•Погрешность обычно оценивают одним числом , характеризующим близость между точным и приближенным значениями некоторой величины. Близость мы привыкли оценивать расстоянием между объектами.
a a
А как оценить близость между двумя функциями f(x) и g(x) (векторами , матрицами A, B)?
05.01.2011 |
13 |
Нормированное пространство
•Множество элементов в котором каждому элементу поставлено в соответствие число ║X║ (норма X), удовлетворяющее следующим аксиомам:
1.
2.
3.
4.
|
X |
|
|
|
0 |
|
|
- норма (положительное число). |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
X |
|
|
0 |
|
|
|
|
только при X = ( - нулевой элемент). |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
, - число |
||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
X 1 X 2 |
|
|
|
|
X 1 |
|
|
|
X 2 |
|
- неравенство треугольника. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
•В качестве элементов рассматриваются функции, векторы или матрицы.
• Введены обычные операции + - и умножение * на число
• Расстояние между элементами
( X 1 , |
X 2 ) |
|
X 1 X 2 |
|
|
05.01.2011 |
14 |
||||
Пространство непрерывных функций С[ab]
Множество непрерывных функций {f(x), g(x), h(x), …}, определенных на интервале [a, b].
Норма и расстояние в C[a, b] определяются по формулам:
f |
|
|
|
c |
m ax |
f ( x ) |
|
; C |
( f , g ) m ax |
f ( x ) g ( x ) |
|
|
x[ a , b ] |
|
x[ a , b ] |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
05.01.2011 |
15 |
Например
[ 0 ,1]
f ( x ) 1 |
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
g ( x ) s in 2 x |
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
C
C
1
1
1
1
05.01.2011 |
16 |
Пространство Лебега L2[a, b] интегрируемых с квадратом функций
|
Множество функций, для которых |
b |
|
|
|
f 2 ( x ) d x |
|||
|
|
|||
|
|
a |
|
|
|
|
|
В L2[a, b] имеются и разрывные функции, т.е. C[a, b] L2[a, b].
Норма и расстояние:
b b
f |
|
|
f 2 ( x ) d x |
; L |
( f , g ) |
( f ( x ) g ( x )) 2 d x . |
|
|
L |
||||||
|
|
2 |
a |
|
2 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
||
05.01.2011 |
17 |
Например
[ 0 ,1]
f
f ( x ) 1
g ( x ) s in ( 2 x ) |
|
g |
L2
L2
1
0 .5
1
1
05.01.2011 |
18 |
Заметим, что функции f и g на рис. будут "близкими" в пространстве L2 и "далекими" в пространстве С, т.е. норма С более «сильная»:
f 
L2 
f 
C
05.01.2011 |
19 |
Скалярное произведение в L2[a,b]
|
b |
|
|
|
|
|
( f , q ) |
f ( x ) g ( x ) d x , |
( f , f ) |
|
|
2 |
|
|
f |
|
||||
|
a |
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
•Ортогональными называются две функции из L2, если (f, g)=0.
05.01.2011 |
20 |