Добавил:

Kaz Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Руководство к выполнению контрольных работ по высшей математике ЖА Черняк, ТС Степанова, БГУИР 2002.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.06.2014

Размер:

620.91 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Контрольная работа № 6

Неопределенный и определенный интегралы

Литература: [2], гл.10,11; [3], гл. 12; [5], гл. 2, 5; [11], гл.5; [14], гл.4.

Целью выполнения контрольной работы №6 является овладение необходимым набором математических понятий, приемов и методов, перечисленных ниже.

Основные понятия: первообразная; неопределенный интеграл и его свойства; таблица основных неопределенных интегралов; определенный интеграл и его свойства; формула Ньютона-Лейбница.

Основные приемы и методы:

-табличное интегрирование;

-подведение под знак дифференциала;

-интегрирование по частям в неопределенном и определенном интегралах;

-методы приближенного вычисления определенных интегралов;

-вычисление площадей плоских областей, длин плоских кривых и объемов некоторых тел.

Блок обучающих задач с решениями

Задача 6.1. Найти неопределенные интегралы.

1) ∫

3 − 2x4 + 3 x2 dx

;

2) ∫e2−3x dx ;

3) ∫

sin 5x

dx ;

75 x2

cos5x

arccos7 x

dx ;

3x +10

dx ;

4) ∫

;

5) ∫

6) ∫

3sin 2 x

ctg 4 x

1 − x2

6x2 − 4

7) ∫

7x − x2 − 4

dx ;

8) ∫

xarctgxdx ;

9) ∫x2 ln(x +1)dx .

(x +1)2 (x2 −5x + 6)

1 + x2

Решение.

3 −

1) ∫

dx = 3

∫x−

5 dx −

∫x4−5 dx +

∫x 3−

5 dx =

75 x2

−

2+1

18+1

1 x15

2 x 5

−

+ c =

x5 −

x 5 +

x15

+ c =

2 +

−

5 5

−

161 x

133 x

+ c.

2) ∫e 2 −3x dx = ∫e 2 −3x		1	(−3dx) = −	1	∫e 2	−3x	(2 − 3x)′dx =
	−
		3		3

= −

∫e

2−3x

d (2

−3x) = −

2−3x

+ c.

3) ∫

sin 5x

dx =

∫(− 15 )(−5sin 5x)dx = −1

∫(cos5x)′dx

cos5x

∫cos−

= −

2 5x d(cos 5x) = −

2 cos 2 5x + c = −

cos 5x + c .

−

4) ∫

= −

∫

sin 2 x

= −

∫ctg −4 xd(ctgx) =

ctg 4 x

3sin 2 x ctg 4 x

= −

1 ctg

−3 x

+ c

+ c .

−

9ctg3 x

3 arccos7 x

5) ∫

2 dx = −∫arccos

−

1 − x

(arccos x)103

+c =−0,3 3 (arccos x)10 +c.

=−∫arccos3 x d(arccos x) =−

103

3x +10

6) ∫

dx = ∫

3xdx

+10∫

6x2 −4

6x2 −

6x2 −4

14 12xdx

6x)

= ∫

+10∫

( 6x )2 −22

6x2 −4

∫

(6x2 −4)′dx +

ln10

6 x −2

+c =

6x2 −4

6 x + 2

1 ln 6x2 −4 +

6 x −2

+c .

6 x + 2

7) ∫

7x − x2 −4

dx.

(x +1)2 (x2 −5x +6)

7x − x2 −4

(x +1)2 (x2 −

5x +6)

(x +1)

2 (x −2)(x −

x +

(x +1)2

−

x −

Для нахождения неопределенных коэффициентов А, В, С, D правую часть последнего равенства приводим к общему знаменателю и, приравнивая числители дробей, получаем тождество:

7x − x2 −4 = A(x +1)(x −2)(x −3) + B(x −2)(x −3) +

+C(x +1)2 (x −3) + D(x +1)2 (x −2).

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда они имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях х :

x3 :

0 = A +C + D

x2 :

−1 = A −5A + B −C

x :

7 = A −5B −5C −3D

−4 = −6A +6B −3C

−2D

Решая эту систему, находим A =

B = −1, C = −

D =

. Подставляя

коэффициенты в разложение подынтегральной функции на простейшие дроби, получаем

7x − x

−4

∫

(x +1)

dx = ∫

−

(x +1)

2 −

x −

x −3

dx =

−5x +6)

x +

x +1

−

x −2

x −3

+c =

x +1

+ ln 6

x +1 −ln 3 (x − 2)2 +ln x −3 + c =

x +1

x −3

+ln

+c .

3 (x −2)2

8)∫ xarctgxdx .

1 + x2

Для вычисления интеграла используем формулу интегрирования по частям:

∫udv = uv − ∫vdu .

В нашем случае u = arctgx; du =

; dv =

xdx

; v = ∫

+ x2

1+ x2

+ x2

∫d(1+ x2 )

= 1+ x2 .

1+ x2

∫

xarctgx dx =

1 + x2 arctgx − ∫

1+ x2

1+ x2 arctgx −ln x +

1+ x2

+ c .

u = ln(x +1),

du =

9) ∫x2 ln(x +1)dx =

x3+1

dv = x2dx,

v =

ln(x +1) − ∫

ln(x +1) −

+1−1

dx =

∫

x +1

ln(x +1) −

∫ x

− x

+1−

ln(x +1) −

−

+ x −ln

x +1

+c .

Задача 6.2. Вычислить определенные интегралы:

2x −11

dx;

∫3

xdx

∫

; 3)

∫

;

3 −2x − x2

(3x −1) 3x −1

x2 +1

dx ;

∫sin

∫cos x

cos3x cos5xdx.

Решение.

2x −11

∫

dx = ∫

dx −11∫

3 −2x − x2

− x2 −2x +3

(−2x −2) +

(−x

−2x +3)′dx −

= −

∫

2 dx −11

= −

∫

− x2 −2x +3

∫

−(x +1)2

+ 4

− x2 −2x +3

1	dx		1	d(−x	2	−2x +	3)		x +1
−13		= −	∫					−13arcsin

∫	4 −(x +1)2						12	2
0			0 (−x2 −2x +3)

10 =

= −2 − x2 −2x +3 10 −13(arcsin1−arcsin 12) = −2(0 − 3) −13(π2 −π6 )=

= 2 3 −133 π .

	10																																	3x −1 = t;																		3x −1 = t									2 , x =					1	(t 2	+1),
					3									xdx																																														x 23						3
					3									xdx											dx			=																																				103					=
2) ∫																									dx			=											2																									103					=
	23						(3x −1)									3x −1																	dx					=	3 tdt,
	23						(3x −1)									3x −1																	dx					=	3 tdt,																					t	1					3
	3		1				(t	2	+1)							2										2	3		t	2			+1											2				3
= ∫			3				(t		+1)							3 tdt							=			2	∫		t				+1				dt =							2				∫(1+t −2 )dt =
= ∫										t 2 t													=				∫										dt =											∫(1+t −2 )dt =
	1									t 2 t																9	1				t 2													9				1
	2								1					3			2				(3 −					1	−1+1)=												16
	2								1					3			2																						16
=				t −										1		=																												.
=	9			t −						t						=	9																						27					.
	9									t							9									3													27
	1							3									x = tgt;											dx =										dt2										π				tg 3t							dt
																																																											dt
																																																										cos2 t =
3) ∫							x		dx						=										x		0							1 cos						t				= ∫4														cos2 t =
	0						x2 +1																																										0						tg 2t +1
	0						x2 +1																		t		0					π		4															0						tg 2t +1
																									t		0					π		4
	π						tg3t								1											π			tg 3t											π							sin3 t
= ∫4												cos2 t								dt = ∫4									tg 3t						dt = ∫4												sin3 t							dt =
= ∫4																				dt = ∫4															dt = ∫4																			dt =
	0								1cost																	0			cost													0					cos4 t											u = cost
	π						sin 2 t sin t																		π						1−cos2 t																											u = cost
= ∫4							sin 2 t sin t												dt = ∫4 −												1−cos2 t												d(cost) =														t		0			π	4			=
= ∫4																			dt = ∫4 −																								d(cost) =														t		0				4			=
								cos4 t																									cos4 t
	0							cos4 t																		0							cos4 t																									u	1		2		2
	0																									0																																u	1				2
	2					2 u2 −1															2 2																																1					1			2 2
	2					2 u2 −1															2 2																																1					1			2 2
= ∫															du		=							∫		(u−2 −u−4 )du = −																												+									=
= ∫									u		4				du		=							∫		(u−2 −u−4 )du = −																											u	+		3u			3		1		=
			1								4										1																																						3		1
			1																		1
= −						2		+							8						+1−						1		= −							2				+				2					=			2 −			2				=		2 − 2 .
= −						2		+							8						+1−						1		= −							2				+				2					=			2 −			2				=		2 − 2 .
							2 3 2 2																				3							3 2										3							3 3										3
		π						4 x										π			1−cos x 2																					1				π																	2
4) ∫sin													dx = ∫																							dx =											∫(1− 2cos x + cos																		x)dx			=
4) ∫sin									2				dx = ∫													2										dx =						4					∫(1− 2cos x + cos																		x)dx			=
	0								2								0									2																4			0
	0																0																												0
	1							π															π				π 1+ cos 2x
	1							π															π				π 1+ cos 2x
=								0			− 2sin x											0 + ∫																				dx								=

	4			x																														2
																											0																							(π +				π )
																											0
=	1							−2 0 +									1				(x +					1 sin 2x)												π			=				1													=	3 π .
				π
	4			π																																									4
	4																2									2												0							4										2				8

		π		2														π 2						cos(x −5x) +cos(x +5x)
	5)		∫cos x cos3x cos5xdx =															∫	cos3x					cos(x −5x) +cos(x +5x)												dx =
	5)		∫cos x cos3x cos5xdx =															∫	cos3x																	dx =
		0																0											2
		0																0
		1		π 2
	=			∫	(cos3x cos 4x								+cos3x cos 6x)dx =
	=	2		∫	(cos3x cos 4x								+cos3x cos 6x)dx =
		2		0
				0
		1		π 2
	=			∫	(cos x			+cos 7x				+cos3x +cos9x)dx =
	=	4		∫	(cos x			+cos 7x				+cos3x +cos9x)dx =
		4		0
				0																		π 2

		1						sin 7x				sin 3x						sin 9x
	=			sin x +							+					+						=
	=	4		sin x +					7		+			3		+			9			=
		4							7					3					9			0
	=	1				π	+	1		7π			+	1			3π		+	1			9π		=	1		−	1	−	1	+	1	=	10
		1				π		1		7π				1			3π			1			9π			1			1		1		1		10
				sin					sin						sin						sin						1										.
		4		sin		2		7	sin		2			3	sin			2		9	sin						1		7		3				63		.
		4				2		7			2			3				2		9				2		4			7		3		9		63
	Задача 6.3. Вычислить приближенное значение определенного интеграла
1	e0,1x
∫			dx		по		методу:							1)		прямоугольников;										2)			Симпсона,					разбивая
∫	x		dx		по		методу:							1)		прямоугольников;										2)			Симпсона,					разбивая
0,5

промежуток интегрирования на 10 равных частей. Все вычисления производить с точностью до трех десятичных знаков после запятой.

Решение. Пусть требуется вычислить ∫ f (x)dx . Разобьем отрезок a

[a,b]	на n	равных					частей точками a = x0 < x1 < x2 <... < xn = b . Пусть
yi = f (xi ),
		i = 0, n				. Тогда по формуле левых прямоугольников
b	f (x)dx ≈			b −a			( y0 + y1 +... + yn−1) .
∫

a					n
По формуле правых прямоугольников
b	f (x)dx ≈		b −a				( y1 + y2 +... + yn ) .
∫

a					n

По методу парабол (методу Симпсона) отрезок интегрирования [a,b] разбиваем на четное число частей n = 2m .

f (x)dx ≈

b −a

+ y

+ 4( y + y

+... + y

) +

Тогда

∫

2m−1

+ 2( y2 + y4 +... + y2m−2 )).

Для нашего интеграла n =10,															a = x0 = 0,5,		x1 = 0,55;			x2 = 0,6;
x3 = 0,65;							x4 = 0,7; x5 = 0,75; x6 = 0,8;										x7 = 0,85;			x8 = 0,9;
x9 = 0,95;							x10 =1.											e0,1x
Составим							таблицу					значений			функции		f (x) =	e0,1x		для	значений
Составим							таблицу					значений			функции		f (x) =	x		для	значений
																		x
xi , i = 0,10					. Вычисления будем вести с четырьмя знаками после запятой.
	i								xi					0,1xi		e0,1xi			yi
	0								0,5					0,05		1,0512			2,1025
	1								0,55					0,055		1,0565			1,9209
	2								0,6					0,06		1,0618			1,7697
	3								0,65					0,065		1,0671			1,6417
	4								0,7					0,07		1,0725			1,5321
	5								0,75					0,075		1,0778			1,4371
	6								0,8					0,08		1,0832			1,3541
	7								0,85					0,085		1,0887			1,2808
	8								0,9					0,09		1,0941			1,2157
	9								0,95					0,095		1,0996			1,1575
	10								1					0,1		1,1051			1,1051
По формуле левых прямоугольников
1		e0,1x				dx ≈		1−0,5				(2,1025 +1,9209 +1,7697 +1,6417 +1,5321+
∫
∫				x					10
0,5
+1,4371+1,3541+1,2808 +1,2157 +1,1575) = 0,7706 ≈ 0,771.
По формуле правых прямоугольников
1		e0,1x				dx ≈		1−0,5				(1,9209 +1,7697 +1,6417 +1,5321							+1,4371 +1,3541 +
∫
∫				x					10
0,5
+1,2808 +1,2157 +1,1575 +1,1051) = 0,72073 ≈ 0,721.
По методу Симпсона (2m =10, m = 5)
1			0,1x					1	−0,5
∫		e				dx ≈		1	−0,5			(2,1025 +1,1051+ 4 (1,9209 +1,6417 +1,4371+
∫		x				dx ≈			6 5			(2,1025 +1,1051+ 4 (1,9209 +1,6417 +1,4371+
0,5
+1,2808 +1,1575) + 2 (1,7697 +1,5321+1,3541+1,2157))= 0,7450 .
Задача 6.4.							Найти					площадь			фигуры,	заключенной			между		параболой
x2 = 4 y и кривой y =												8	.
x2 = 4 y и кривой y =										x	2 + 4		.
										x	2 + 4

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения кривых. Для этого

исключим у из системы уравнений:
y =		8	(x2 + 4),
			(x2 + 4),
			x2
	y	=	x2			,
	y	=			4	,
откуда x2 + 4x2 −32 = 0										x		= ±2. Тогда
											1,2
	2				8			x2						x x3			2		4
	2				8			x2						x x3			2		4
S = ∫							−				4arctg				−			= 2π −		.
S = ∫				2	+ 4		−	4	dx =		4arctg		12		−		−2	= 2π −	3	.
	−2 x				+ 4			4					12			12	−2		3

Задача 6.5.	Вычислить длину дуги кривой	x =	y4	−	ln y	, заключенной
			4		2
между точками с ординатами y1 =1 и y2 = 2.

Решение.	В этой задаче в качестве независимой переменной удобнее

взять у, тогда x = x( y) , и формула для вычисления длины дуги принимает вид

	y2									′		1				1
										′		1				1
l =			1+		′		2	dy	=	x ( y) =		2		y − 2 y										=
	∫				′		2													2
	∫				(x ( y))						′				2		y	+	1	2	=	1	1
	y1										′				2		y		1			1	1
	y1									1+ (x ( y))						= (2			2 y )			2	(y + y )
2	1	(y +			)dy =	1	y2				2	1	(3 +ln 2).
2	1			1		1	y2				2	1
= ∫				1					+ln y		=
= ∫									+ln y		=
1	2			y		2		2			1	2		2

Задача 6.6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

z =

; z =1.

Решение.

Воспользуемся

формулой

нахождения

объема

тела с

известными площадями поперечных сечений

S(z):

где S(z)

V = ∫S(z)dz ,

функция,

выражающая

площадь

любого

z [a,b]. Так

сечения данного тела плоскостями, перпендикулярными оси Oz ,

как в нашем случае поверхность

z =

является параболоидом, а его

поперечные

сечения

плоскостями

z = z0 ,

где z0 (0;1],

ограничены

эллипсами

x 2

y 2

= z0

или

=1, то

их

площади

4z0

2z0

S(z0 ) =π a b ,

где

a =

4z0 ,

b =

2z0 ,

т.е.

S(z0 ) =π 4z0 2z0 = 2π 2z0 .

2zdz = 2π

2 .

Тогда

V = ∫2π

=π

Контрольная работа № 8

Дифференциальные уравнения

Литература: [2], гл. XIII; [3], гл. XIII; [5], ч. III, гл. 8; [6], гл. III; [14], гл. 6.

Целью выполнения контрольной работы №8 является овладение необходимыми математическими понятиями, методами и приемами, перечисленными ниже.

Основные понятия: дифференциальное уравнение; общее и частное решения; типы дифференциальных уравнений первого порядка; линейные дифференциальные уравнения высших порядков (однородные и неоднородные); системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Основные методы и приемы:

-нахождение общего (частного) решения следующих типов дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными; с однородными функциями; линейных уравнений; уравнений Бернулли;

-нахождение общего (частного) решения линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами;

-нахождение общего (частного) решения линейного неоднородного уравнения второго порядка со специальной правой частью;

-нахождение общего решения системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.

Блок обучающих задач с решениями

Задача 8.1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка:

′

2) y − x

= x + y

1) xy

+ x = y (x

y − y) ;

;

e−x

3) y =

− y′;

4) (x2 +1)

= xy + x2 y2 .

1− x

′

Решение.

+ x

y − y)

x( y

+1)dx = y(x

−1)dy .

= y (x

Это уравнение с разделяющимися переменными. Чтобы разделить

переменные, разделим обе части уравнения на ( y2 +1) (x2 −1):

dx =

dy .

x2 −1

y2 +1

х , а правую часть – по

Интегрируем левую часть уравнения по переменной

переменной у:

∫

dx = ∫

dy ,

−1

∫

d(x2 −1)

∫

d( y2 +1)

2 −1

x2 −1

= ln(y2 +1) −ln

c(x2 −1)

= ln(y2 +1),

y2 +1 = c(x2 −1) .

Решение получено в виде общего интеграла.

2) y − x

= x + y

Перепишем уравнение в виде:

(x + y) = y − x

или

= −

x − y

x + y

Это однородное уравнение (уравнение с однородными функциями). Решаем его

с помощью замены:				y(x) = x u(x), где u(x) - новая неизвестная функция.
	′				′
Находим y (x) = u(x) + x u (x)
					′
Подставляем выражения для y(x)и y (x) в исходное уравнение:
	′		x − xu
u +u		x = − x		+ xu или

u′(x) = −11+−uu −u ;

u′(x) = −u2 +1. u +1

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:

∫

u +1

du = −∫

u2 +1

∫

d(u2 +1)

∫

= −ln

+ln

;

2 +1

ln(u2

+1) + arctgu

= ln

Учитывая, что u = y					, получаем
				x
arctg	y	= ln	c		y	2
arctg	x	= ln	x	−ln		+1 или
	x		x		x
arctg	y	= ln			c
arctg	y	= ln		x2	.
	x			x2	+ y2

Решение получено в виде общего интеграла.


			e−x
3)		y =			− y′
3)		y =	1− x		− y′
	′			e−x
y	′	+ y = 1− x				- линейное уравнение первого порядка.
y		+ y = 1− x				- линейное уравнение первого порядка.

методом Бернулли с помощью подстановки y = u(x) v(x) , где

две новые неизвестные функции.

y′ = u′v +uv′.

После подстановки y и y′ в уравнение оно принимает вид:


′	′	+uv =			e−x		или
				1− x
u v +uv
′		′	+v) =			e−x	(*).
					1− x
u v +u(v

Находим функцию v(x) из условия:

v′+v = 0 .

Решаем его

u(x), v(x) -

dv	= −v или	∫	dv	= −∫dx ,
dx			v

ln v = x +ln c ,

v = ce−x .

Пусть c =1, тогда v = e−x .

Подставляем v(x) в уравнение (*) :

′

−x

e−x

=1− x ,

∫du = ∫

u = −ln

1− x

+ln

u =

1− x

−1

Тогда

y = u v =

e−x ,

или

y =

- общее решение

x −1

ex (x −1)

уравнения.

4) (x2 +1)

= xy + x2 y2

x2 y2

это

уравнение

Бернулли. Решаем его

подстановкой

y(x) = u(x) v(x). Тогда

′

= u v

+uv

′

xuv

x2u2v2

u v

+uv

x2 +1

′

x2u2v

u v

+u v

−

2 +1

x2 +1

Пусть v′−

= 0, тогда

x2 +1

′

x2u2v2

u v

(**)

x2 +1

Решаем первое из этих уравнений:

уравнение с разделяющимися переменными.

x2 +1

∫

= ∫

x2 +1

ln v = 12 ln(x2 +1) + ln c .

Пусть c =1: v = x2 +1. Подставляем v в уравнение (**):

u′ x2 +1 = x2u2 (x2 +1) , x2 +1

x2 +1 = x2u 2 ,

x2dx

∫

= ∫

x2 +1

∫

= −

x2dx

Вычислим ∫

интегрированием по частям:

u1 = x,

du1 = dx

∫

2dx

= dv1

= xdx ,

v1 =

1+ x2

x2 +1

= x 1+ x2 − ∫

1+ x2 dx = x x2 +1 − ∫ 1+ x2

dx =

1+ x2

= x x2 +1 − ∫

− ∫

dx =

1+ x2

= x x2 +1 −ln x + 1+ x2 − ∫

dx .

1+ x2

x2dx

В итоге получили уравнение относительно ∫

∫

x2dx = x x2 +1 −ln x + x2 +1 − ∫

x2dx ,

x2 +1

2∫

x2dx = x x2 +1 −ln x + x2 +1 + 2c ,

x2 +1

x2dx

= c +

−ln x +

∫ x2 +1

x x

Тогда

−1

+1 −ln x +

u = − c

x x

+1 .

Окончательно получаем общее решение уравнения

y = u v = −	1			x2 +1				.
			2				2
c +		x x		+1	−ln x +	x		+1
	2

Задача 8.2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

′′

+16 y = (34x +13)e

−x

y(0) = −1;

′

= 5;

y (0)

′′

+ 2 y

′

+ 2 y = 2x

+8x

+ 6,

y(0)

′

= 4;

=1; y (0)

′′

+5y

′

+2y = 52sin 2x ,

y(0)

= −2;

′

= −2 .

y (0)

Решение. 1) Составляем и решаем характеристическое уравнение:

λ2 +16 = 0	λ = 4i, λ	2	= −4i .
	1	2

Общее решение соответствующего однородного уравнения:

y0 = c1 cos 4x +c2 sin 4x.
~	= ( Ax + B)e	−x	.
Частное решение имеет вид: y	= ( Ax + B)e		.

Для нахождения неизвестных коэффициентов А и В вычислим ~y′, ~y′′ и подставим в исходное уравнение:

′ = Ae

−x

−( Ax + B)e

−x

= e

−x

( A − B − Ax) ,

′′ = −Ae

−x

−( A − B − Ax)e

−x

= −e

−x

(2A − B − Ax) .

−e−x (2A − B − Ax) +16e−x ( Ax + B) = (34x +13)e−x .

Сокращаем на e−x :

− 2A + B + Ax +16 Ax +16B = 34x +13, x(A +16A −34) +(17B −2A −13) = 0

	17A = 34		A = 2		.
		13
17B = 2A +			B =1
Тогда	~		−x	= (2x		+1)e	−x	.
	y = ( Ax + B)e

Общее решение исходного уравнения:

−x

y = y0 + y = c1 cos 4x +c2 sin 4x +(2x +1)e

Используя начальные условия: y(0) = −1,

′

= 5, составим систему

(0)

для нахождения c1 и c2 :

y(0) = c

sin 0 + (2 0 +1) e0 = c +1,

′

−(2 0

+1)e

= 4c2

+ 2 −1;

y (0) = −4c1 sin 0 + 4c2 cos 0 + 2e

c +1 = −1

= −2

4c2 +1 = 5

c2 =1

Подставляя c1, c2 в общее решение, находим частное решение исходного уравнения:

y = −2 cos 4x +sin 4x + (2x +1) e−x .

2) y

′′

+ 2 y

′

+ 2 y = 2x

+8x + 6

′

= 4.

y(0) =1; y (0)

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

λ2 + 2λ + 2 = 0

λ = −1+i, λ

= −1−i .

Общее решение соответствующего однородного уравнения:

= c e−x cos x +c

e−x sin x .

подбираем

в соответствии с

видом правой

части

Частное решение y

уравнения:

+ Bx +C .

= Ax

С находим, подставляя ~y, ~y′ и

~y′′ в

Неизвестные коэффициенты А, В,

исходное уравнение.

~y′ = 2Ax + B ,

~y′′ = 2A .

Подставляем в уравнение:

2A + 2(2Ax + B) + 2( Ax2 + Bx +C) = 2x2 +8x + 6 ,

x2 (2A − 2) + x(4A + 2B −8) +(2A + 2B + 2C −6) = 0

2A −2 = 0

A =1

+ 2B −8 = 0

B = 4 −2A = 2

2A + 2B + 2C −6 =

C = 3 − A − B = 0

= x

+ 2x, а общее решение исходного уравнения принимает вид:

Тогда y

y = c e

−x cos x + c

e−x sin x + x2 + 2x .

Используя начальные условия, получаем систему уравнений для

нахождения c1 и c2 :

y(0) =1y′(0) = 4.

y(0) = c e0 cos 0

+ c

e0 sin 0 + 0 = c

= −c e0 cos 0

e0 sin 0 + c

cos 0 + 2 =

y′(0)

= −c

+ c

+ 2,

c1 =1,

c2 −2 + 4 = 3.

Подставляя c1 и c2 в общее решение, получаем частное решение исходного

уравнения:

y = e−x cos x +3e−x sin x + x2 + 2x.

′′

+5y

′

+2y = 52sin 2x ,

′

= −2 .

y(0) = −2; y (0)

Составляем и решаем характеристическое уравнение

λ2 +5λ + 6 = 0

λ = −3, λ

= −2.

Общее решение соответствующего однородного уравнения:

= c e−3x +c

e−2x .

Частное решение ~y с неопределенными коэффициентами имеет вид:

~y = Asin 2x + B cos2x .

Коэффициенты А, Внаходим, подставляя ~y, ~y′, ~y′′ в исходное уравнение:

y′ = 2Acos2x −2Bsin 2x ,

y′′ = −2 2Asin 2x −2 2B cos 2x .

Подставляем в уравнение:

−4Asin 2x −4B cos 2x +5(2Acos 2x −2Bsin 2x) + +6(Asin 2x + B cos 2x) = 52sin 2x ,

sin 2x(−4A −10B +6A −52) +cos 2x(−4B +10A +6B) = 0 ,

2A −10B = 52		2A +50A = 52			A =1	.
	2B +10A = 0		B = −5A
				B = −5

~	= sin 2x		−5cos2x, общее решение исходного уравнения:
Тогда y
	~	= c1e	−3x	+c2e	−2x	+sin 2x −5cos 2x .
y = y0 + y

Используя начальные условия					′		= −2 , составляем систему
				y(0) = −2, y (0)
уравнений для нахождения c1 и c2 :
y(0) = c e0 +c		2	e0 +sin 0 −5cos 0 = c		+c	2	−5,
	1			1
	y′(0) = −3c1e0 −2c2e0 + 2cos 0 +5 2sin 0						= −3c1 −2c2 + 2,

	c1 +c2 −5 = −2			c1 +c2 = 3			c1 = −2
−3c1 −2c2 + 2 = −2;				3c1 + 2c2 = 4;			c2 = 5 .

Подставляя c1 и c2 в общее решение, получаем частное решение исходного

уравнения:

y = −2e−3x +5e−2x +sin 2x −5cos 2x .

Задача 8.3. Представить			систему	линейных	дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами в матричной форме:
dx		= 7x +3y,

	dt
dy
		= x +5y.

dt

Найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения.

Решение. Обозначим xy = x ,

	7	3
A =			.
	1	5
	1	5

dx
dx		dx
dt	=		,
dt	=	dt	,
dy		dt
dt

Теперь исходную систему можно записать в матричном виде:

dxdt = A x .

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

	A −λE		= 0

	7 −λ	3		= 0	(7 −λ)(5 −λ) −3 = 0

	1		5 −λ
λ2 −12λ +32 = 0
λ1 = 4,			λ2 = 8 .

Составляем и решаем для каждого λ1,λ2 однородную систему

(A −λE)x = 0.

Для λ1 = 4:
x		0	3	3 x			0
( A − 4E)	=					=
		0	1	1			0
y		0	1	1	y		0

3x +3y = 0						x = −y
	x + y = 0		x + y = 0
	x + y = 0				y R \ {0}.
	− y			−1	y	≠ 0, y R , является собственным
Вектор		= y		, где	y	≠ 0, y R , является собственным

	y			1

вектором

матрицы

А,

соответствующим собственному значению λ1 = 4.

Полагая,

например,

y =1,

получаем частное решение исходного матричного

уравнения:

−1

X 1 =

e4t =

−e

Для λ2 = 8:

−1 3

(A −8E)

−3

− x +3y = 0

x −3y = 0

x = 3y

x −3y = 0

y R \ {0}.

Вектор

где y ≠ 0,

y R , является собственным вектором

= y

матрицы А,

соответствующим собственному значению λ2 = 8. Полагая в нем

y =1, получаем другое частное решение исходного матричного уравнения:

X 2

e8t

Общее решение матричного уравнения имеет вид:

−e

3e8t

−c e4t +3c

e8t

X 1

= c X 1 +c

X 2

= c

e4t

e8t

c e4t +c

e8t

С учетом обозначения

X= x(t) получаем общее решение исходной системы:

y(t)

x(t) = −c1e4t +3c2e8t ,y(t) = c1e4t +c2e8t .

Задача 8.4. Найти уравнение кривой, проходящей через точку P(1, 2) и

обладающей следующим свойством: площадь треугольника, образованного радиус–вектором любой точки кривой, касательной в этой точке и осью абсцисс, равна 2.

Решение. Пусть точка M (x, y) - произвольная точка искомой кривой. Как видно из рисунка,

S∆OMA = 12 OA MB.

По условию задачи S∆OMA = 2

	1	OA MB = 2
	2

OA y = 4 .			(*)

Выразим ОАчерез координаты х, у точки

М, лежащей на искомой кривой.

OA = OB + BA = x + BA.

Из прямоугольного ∆MBA

= tg(π −α)

BA =

BA = −y ctgα,

где

tgα =

в соответствии с

−tgα

геометрическим

смыслом

производной. Тогда BA = −y

. Подставим

выражение ОА в равенство (*) :

xy − y2

− y

y = 4

= 4

− xy = −4,

−

= −

Получили линейное уравнение первого порядка относительно x( y) и dydx .

Решаем его с помощью подстановки x( y) = v( y) u( y).

′

u v

+uv

−

= −

′

+u v

−

= −

u v

v′−

= 0,

′

∫ v

∫

u v = −

= ln

+ln

, v = Cy .

Возьмем

C =1 v = y , подставляем

найденную функцию v во 2-е уравнение системы, которое решаем затем относительно u.

y = −

- уравнение с разделяющимися переменными.

∫du = −∫

4dy

u =

+C.

Тогда x = u v =

+c y = Cy +

P(1,2). Поэтому

Искомая

кривая

проходит

через

точку

1 = C 2 +

C = 0 . Следовательно, уравнение кривой x =

или

xy = 2 - гипербола.

Контрольная работа № 9

Ряды

Литература: [2], гл. 16, 17; [3], гл. 14; [5], ч. 3, гл. 9 - 10; [12], ч. 3.

Целью выполнения контрольной работы №9 является овладение основными математическими понятиями, приемами и методами, перечисленными ниже.

Основные понятия : числовые и функциональные ряды; сумма ряда; абсолютная и условная сходимость; область сходимости функционального ряда; радиус и интервал сходимости степенного ряда; ряд Тейлора; разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора; ряд Фурье.

Основные приемы и методы :

-необходимый и достаточные признаки сходимости положительных числовых рядов (признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный);

-признак Лейбница сходимости знакочередующихся числовых рядов;

-способы вычисления радиуса сходимости степенного ряда;

-использование разложений основных элементарных функций в ряд Тейлора для построения разложения заданной функции в ряд Тейлора;

-отыскание решения дифференциального уравнения в виде степенного

ряда;

-построение ряда Фурье для функции, заданной на отрезке.

Блок обучающих задач с решениями.

Задача 9.1. Исследовать сходимость числового ряда:

∞	3n			∞ ln 5		n
1) ∑			;	2) ∑	n		.
1) ∑			;	2) ∑			.
n=1(n +1)!				n=1				3n
							∞	3n
Решение.		1)		Числовой			ряд ∑		является положительным.
Решение.		1)		Числовой			ряд ∑		является положительным.
							n=1(n +1)!

Воспользуемся признаком Даламбера для исследования сходимости этого ряда.

	an+1		∞
Вычислим q = lim	an+1	. Если 0 ≤ q <1, то ряд ∑an сходится, если
Вычислим q = lim		. Если 0 ≤ q <1, то ряд ∑an сходится, если
n→∞	an		n=1
q >1, то ряд расходится. Если же			q =1, то признак Даламбера не дает ответа

на вопрос о сходимости данного ряда. Нужны дополнительные исследования с помощью других признаков сходимости.

В нашем случае

an =

, поэтому a

3n+1

(n +1)!

n+1

((n +1)

+1)!

+ 2)!

Тогда

q = lim

an+1

= lim

3n+1

(n +1)!

= 3 lim

(n +1)!

n→∞

n→∞ (n + 2)!

n→∞ (n +1)!(n + 2)

= 3 lim

= 0 <1,

следовательно, ряд сходится.

n→∞ n + 2

2)Исследуем вопрос о сходимости положительного числового ряда

∑∞ ln 5 n с помощью интегрального признака. n=1 n

an = f (n) =

ln 5

ln 5 x

Функция

f (x) =

положительна и не возрастает при x ≥1 .

+∞

ln 5

+∞

xdx =

ln2 x

+∞

∫ f (x)dx = ∫

∫ ln xd(ln x) =

= ∞,

т.е. интеграл расходится, следовательно, ряд тоже расходится.

Ответ:

1) сходится;

2) расходится.

∞

xn .

Задача 9.2.

Найти интервал сходимости степенного ряда ∑

n=13n2 + 2

Решение. Интервал сходимости данного ряда имеет вид

< R , где R –

радиус сходимости.

Вычислим

радиус

сходимости

по формуле

R = lim

где

cn+1

n→∞

. Получим

3n2 + 2

3(n +1)2 + 2

2 + 2

R = lim

lim

3(n +1)

3n2 + 2

5n+1

3n2 + 2

n→∞

5 n→∞

Итак, интервал сходимости:

−

< x

x = ±

Исследуем

поведение ряда

граничных

точках

интервала

сходимости.

1) x =

. Тогда исходный ряд примет вид

∞ 5n	1 n		∞ 1
		=			. Этот ряд сходится на основании
			n∑=13n2	+ 2
n∑=13n2 + 2	5

предельного признака сравнения, где в качестве эталонного ряда для сравнения

∞

взят сходящийся ряд ∑

n=1n2

x = −

. Тогда исходный ряд примет вид

1 n

(−1)n

∞

−

. Ряд знакочередующийся. Он сходится

n∑=13n2

+ 2

n∑=13n2 + 2

на основании признака Лейбница.

Действительно, lim

= 0 и

+ 2

n→∞ 3n2

для любого n N .

+ 2

3n2 + 2 3(n +1)2

Таким образом, областью сходимости заданного степенного ряда будет его интервал сходимости, дополненный граничными точками x = ±15 .

Ответ: ряд сходится при	x −	1	;	1	.
Ответ: ряд сходится при	x −	5	;	5	.
		5		5
					1 sin x3		dx с точностью
Задача 9.3. Вычислить определенный интеграл ∫
Задача 9.3. Вычислить определенный интеграл ∫						x
					0	x
					0

до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и проинтегрировав ее почленно.

Решение. Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд.

sin x3

−

(x3 )3

(x3 )5

−

(x3 )7

+...

= x2 − 31! x8 + 51! x14 − 71! x20 +...

Проинтегрируем почленно полученный степенной ряд.

1 sin x3

∫

dx = ∫

−

+... dx =

x9 +

x15 −

x21 +

−

...

−

+...

3! 9

5! 15

7! 21

3! 9

5! 15

7! 21

Этот ряд является знакочередующимся и он сходится. Поэтому справедлива следующая оценка остатка ряда: Rn ≤ an+1 .

Воспользуемся этим неравенством для определения числа слагаемых, достаточного для достижения заданной точности вычислений ε = 0,001.

Так как 5!115 = 18001 < 0,001, то взяв первые два члена ряда, получим

1 sin x3

∫

dx ≈

−

≈ 0,314.

3! 9

1 sin x

dx ≈ 0,314 с точностью до 0,001.

Ответ:

∫

Задача 9.4.

Найти три первых

отличных от нуля члена

разложения в

степенной ряд решения

y = y(x) дифференциального уравнения

y′ = f (x, y),

удовлетворяющего начальному условию y(0) = y0 :

y′ = y2 + x3 ,

y(0) =1.

Решение.

Так как

x0 = 0 ,

то решение данного уравнения будем искать

в виде ряда по степеням х:

′

′′

′′′

y(x) = y(0) +

y (0)

x +

y (0)

(0)

+....

Первый

коэффициент

этого

ряда

определяется начальным условием

y(0) =1.

Второй коэффициент разложения получим из дифференциального

уравнения при x = 0 :

′

(0)

+ 0

+ 0 =1.

y (0) = y

Чтобы найти y′′(0) продифференцируем исходное уравнение: y′′ = 2 yy′+3x2 .

Тогда при x = 0 получим

y′′(0) = 2 y(0) y′(0) +3 02 = 2 1 1 = 2.

Подставляя полученные значения в ряд для y(x), получим три первых

ненулевых члена искомого разложения.

y ( x ) = 1 + 11! x + 22! x 2 + ... = 1 + x + x 2 + ... .

Ответ: y(x) =1+ x + x2 +....

Задача 9.5.

Разложить функцию

f (x) = x −6 в ряд Фурье в интервале

(3, 9) .

Ряд Фурье для функции f (x),

заданной в интервале (a, b)

Решение.

длины 2l, имеет вид

∞

nπx

f (x) =

cos

sin

∑

n=1

где коэффициенты

a0 ,

an , bn

вычисляются по формулам

nπx

∫ f (x) cos

dx,

= 0,1,2,3...

nπx

∫ f (x)sin

dx,

=1,2,3...

Поскольку длина интервала (3,9) равна 2l=6, то ряд Фурье примет вид

∞

nπx

f (x) =

cos

sin

∑

n=1

f (x) cos

nπx

dx,

n = 0,1,2...

где

∫

nπx

∫ f (x)sin

dx,

=1,2...

Вычислим коэффициенты Фурье.

(x −6)2

39 = 0

∫(x −6)dx =

;

nπx

n ≠ 0,

an =

∫(x −6) cos

dx =

∫(x −6)d sin

πn

nπx

nπx 9

nπx

(x −6)sin

−∫sin

cos

= 0 ;

πn

π 2n2

nπx

∫(x −

6)sin

= −

∫(x

−6)d cos

πn

nπx 9

nπx

= −

(x −

6) cos

−∫cos

dx =

πn

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
15.06.2014794.18 Кб56Методические указания и контрольные работы по высшей математике ЖА Черняк, Минск 2004 (Мет пособие).pdf
#
15.06.2014175.1 Кб54Примеры решения дифференциальных уравнений.doc
#
15.06.2014148.48 Кб66Примеры решения задач на интегралы.doc
#
15.06.2014767.49 Кб71Примеры решения задач с кратными интегралами.doc
#
15.06.2014422.91 Кб21Примеры решения на темы пределы,.doc
#
15.06.2014620.91 Кб37Руководство к выполнению контрольных работ по высшей математике ЖА Черняк, ТС Степанова, БГУИР 2002.pdf
#
15.06.201412.41 Кб10список зарекомендовавших себя и бесплатных сайтов ТР-ы.docx
#
15.06.201438.4 Кб2ФКСиСПОИТ 2 сем.doc
#
15.06.2014649.22 Кб17Шпоры (ИИТ, Дайняк ИВ) [2930 вопросов].doc
#
15.06.2014533.28 Кб48Шпоры на 1ый сем, Лущакова, 1ый семестр (Лущакова И Н).docx
#
15.06.20141.43 Mб34Шпоры, 1ый семестр (Цегельник) [4445 вопросов].doc