Добавил:

Kaz Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Руководство к выполнению контрольных работ по высшей математике ЖА Черняк, ТС Степанова, БГУИР 2002.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.06.2014

Размер:

620.91 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

f ′′(α0 ) = −

136

164

> 0 , т.е. α0 - точка минимума.

cosα

cosα0

Найдем теперь

f (α0 ) -

максимально

возможную длину сплавляемого

бревна.

(α0 ) =

, если tgα0

cosα0

sinα0

sinα

sin

α0

sinα0

−

sin

α0

1 −sin

(0;

α (0;

cosα0

f (α0 ) =

=125.

Ответ:наибольшая

длина

бревна

125

м.

Контрольная работа № 5

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Литература: [2], гл.8; [3], гл. 11; [5], ч.2, гл. 6; [11], гл.7.

При выполнении контрольной работы №5 студент должен овладеть основными математическими понятиями, приемами и методами, перечисленными ниже.

Основные понятия: функция нескольких переменных; частные производные первого и более высоких порядков; дифференциал; градиент; производная по направлению вектора; касательная плоскость и нормаль к поверхности; экстремумы функции нескольких переменных.

Основные приемы и методы:

-правило нахождения частных производных;

-использование дифференциала для приближенного вычисления значения функции;

-схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции нескольких переменных в ограниченной замкнутой области;

-метод наименьших квадратов построения эмпирических формул.

Блок обучающих задач с решениями Задача 5.1. Найти область определения функции

z = 1 − x2	− y2	+ ln cos x и изобразить эту область.
4	9

Решение. Функция z определена в тех точках (x, y) R2 , для которых

1 −

−

≥ 0 и

cos x > 0 , т.е.

≥ 0,

≤1

−

cos

> 0

−

+ 2πn < x <

+ 2πn, n Z.

Изобразим эту область. Первое неравенство системы определяет на плоскости

Оху внутреннюю часть эллипса	x2	+	y2	=1 вместе с границей (эллипсом).
	4
		9

Второе неравенство – бесконечное множество вертикальных полос (без ограничивающих их прямых) ширины π . Пересечение этих множеств и дает

область определения D заданной функции:

Задача 5.2. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная

функция u = f (x, y).

∂2u

= 0

u = ln

∂x2

∂y2

+ y2

Решение. Найдем частные производные второго порядка

∂2u

∂x2

∂y2

Для этого сначала вычислим частные производные первого порядка

∂u

∂u .

∂u

∂x

∂y

При отыскании

дифференцируем функцию u, считая что у является

∂x

константой, т.е. постоянной величиной. Сначала воспользовавшись свойствами логарифма, упростим функцию u(x, y). Получим

u = ln	1		2	+ y	2	− 1	1		2	+ y	2
u = ln		= ln x		+ y		2 = −		ln x		+ y		.
	x2 + y2						2
	x2 + y2						2

Тогда

∂u

−

ln x

+ y

= −

+ y

= −

∂x

+ y2

2 + y2

= −

2 + y2

∂2u

∂ ∂u

∂u

= −

Вычислим

∂x2

∂x ,

т.е.

дифференцируем

по

∂x

x2 + y2

переменной х; при этом у считается константой:

∂

= −

(x2 + y2 ) − x 2x

= −

y2 − x

∂x2

x2 + y2 x

(x2

+ y2 )2

(x2 + y2 )2

x2 − y2

(x2 + y

2 )2

Аналогично находим

∂u

∂2u

. Здесь уже переменная

будет считаться

∂y

∂y2

константой.

∂u

−

ln x

+ y

= −

2 y = −

;

+ y2

2 + y2

∂y

∂

∂u

+ y

) − y 2 y

− x

= −

∂y

+ y

)

+ y

)

Теперь подставим найденные частные производные

∂

∂2u

в заданное

∂x2

∂y2

уравнение:

∂2u

x2 − y2

y2 − x2

= 0 - верно.

∂x2

∂y

(x2 + y2 )2

(x2

+ y2 )2

Ответ: функция u = ln

удовлетворяет указанному уравнению.

x2 + y2

Задача 5.3. Вычислить приближенное значение функции с помощью дифференциала:

1,003 (1,998)2 (3,005)3 .

Решение.	Введем в рассмотрение функцию	f (x, y, z) = x y2 z3 .
Для нахождения приближенного значения функции f			в точке
(1,003; 1,998;	3,005) воспользуемся формулой
f (x1, y1, z1 ) ≈ f (x0 , y0 , z0 ) + df (x0 , y0 , z0 ) ,
где дифференциал функции f : df (x0 , y0 , z0 ) = f x′(x0 , y0 , z0 ) dx +
+ f y′(x0 , y0 , z0 ) dy + f z′(x0 , y0 , z0 ) dz ;
dx = x1 − x0 ,	dy = y1 − y0 , dz = z1 − z0 ;	f x′,	f y′, f z′	- частные
производные первого порядка, вычисленные в точке (x0 , y0 , z0 ) ;				(x0 , y0 , z0 )	-
точка, достаточно близкая к точке (x1, y1, z1) , в которой значение функции					f
вычисляется легко.

Тогда формулу для приближенного вычисления можно переписать в следующем виде:

f (x1, y1, z1 ) ≈ f (x0 , y0 , z0 ) + f x′(x0 , y0 , z0 ) (x1 − x0 ) + f y′(x0 , y0 , z0 ) ×

×( y1 − y0 ) + f z′(x0 , y0 , z0 ) (z1 − z0 ) .

Обозначим x1 =1,003, y1 =1,998, z1 = 3,005 ;

x0 =1, y0 = 2, z0 = 3.

Вычислим значения всех величин, входящих в формулу:

f (x0 , y0 , z0 ) =1 22 33 =108;

f x′ = y 2 z3 ,		f x′(1,		2,	3) = 22 33 =108 ;
f y′	= 2xyz3 ,	f y′(1,		2,	3) = 2	1 2 33 =108 ;
f z′	= 3 xy2 z 2 ,		f z′(1,		2, 3)	= 3 1 22 33 =108.
Тогда
f (1,003; 1,998;			3,005) ≈108 +108 0,003 +108 (−0,002) +108 0,005 =

=108,648.

Ответ: 1,003 (1,998)2 (3,005)3 ≈108,648 .

Задача 5.4. Написать:

1)	уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности S, заданной
уравнением z = f (x, y) , в точке (x0 , y0 , f (x0 , y0 ));
2)	grad z в точке M 0 (x0 , y0 ) ;
3)	производную функции z = f (x, y) в точке M 0 (x0 , y0 ) по

направлению вектора a ;

z = arctg

M 0 (−1,

1) ,

−

Решение.

1) уравнение касательной плоскости имеет вид

z − z0 = f x′(x0 , y0 ) (x − x0 ) + f y′(x0 , y0 ) ( y − y0 ),

где z0 = f (x0 , y0 ).

y ′

− y

Вычисляем f x′(x, y) = (arctg

)x =

−

;

1 + (xy

x2 + y2

f x′(−1, 1) = −

f y′(x, y) = (arctg

)′y =

;

f y′(−1,

1) = −

1+ (

z0 = f (−1, 1) = arctg(−1) = −

π .

Тогда уравнение касательной плоскости: z +

= −

(x +1) −

( y −1) или

x + y + 2z + π

= 0.

Нормаль к поверхности – это прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в точке (x0 , y0 , f (x0 , y0 )). Ее уравнение имеет вид

x − x0

y − y0

z − f (x0 , y0 )

f x′(x0 , y0 )

f y′(x0 , y0 )

−1

Тогда можем записать

x +1

y −1

z + π4

или, что равносильно,

−

−1

− 1

x +1 = y −1 =

z +

- уравнение искомой нормали.

2) grad

z – это вектор с координатами (f x′, f y′ ).

Тогда grad

z(M 0 ) = (f x′(x0 , y0 ),

f y′(x0 , y0 ))= (f x′(−1, 1); f y′(−1, 1))=

−

,−

Производная функции z = f (x, y) в точке M 0 (x0 , y0 ) по направлению

вектора a - это число, которое вычисляется по формуле

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
15.06.2014794.18 Кб56Методические указания и контрольные работы по высшей математике ЖА Черняк, Минск 2004 (Мет пособие).pdf
#
15.06.2014175.1 Кб54Примеры решения дифференциальных уравнений.doc
#
15.06.2014148.48 Кб66Примеры решения задач на интегралы.doc
#
15.06.2014767.49 Кб71Примеры решения задач с кратными интегралами.doc
#
15.06.2014422.91 Кб21Примеры решения на темы пределы,.doc
#
15.06.2014620.91 Кб37Руководство к выполнению контрольных работ по высшей математике ЖА Черняк, ТС Степанова, БГУИР 2002.pdf
#
15.06.201412.41 Кб10список зарекомендовавших себя и бесплатных сайтов ТР-ы.docx
#
15.06.201438.4 Кб2ФКСиСПОИТ 2 сем.doc
#
15.06.2014649.22 Кб17Шпоры (ИИТ, Дайняк ИВ) [2930 вопросов].doc
#
15.06.2014533.28 Кб48Шпоры на 1ый сем, Лущакова, 1ый семестр (Лущакова И Н).docx
#
15.06.20141.43 Mб34Шпоры, 1ый семестр (Цегельник) [4445 вопросов].doc