Упражнения с решениями

1. Напишите формулу, которая задает функцию g, обратную данной функции f. Постройте графики данной и обратной функции, если функция f задана формулой , где .

Решение. Данная функция монотонно возрастает при . Выразим х через у: . Заменим х на у, а у на х: − это обратная функция. Тогда .

Найдем область определения данной функции: . Найдем множество значений обратной функции: .

Построим графики данной и обратной функции в одной системе координат (рис. 9.6). Эти графики симметричны относительно прямой .

Рисунок 9.6

Упражнения

1. Напишите формулу, которая задает функцию g, обратную данной функции f. Укажите область определения и множество значений функции g.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) , .

Ответы. 1. 1) ; ; 2) ; ; 5) ; .

Контрольные вопросы

1. Какая функция называется обратной по отношению к функции ?

2. Почему можно получить обратную функцию только на интервале монотонности функции ?

3. Как расположены графики взаимно обратных функций?

§ 5. Логарифм

Логарифмом положительного числа bпооснованию а, a > 0, a  1, называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить число b: если , то .

а – это основание логарифма.

Формулу читают: «х есть логарифм числа b по основанию а».

Если основание равно 10, то пишут и читают: «десятичный логарифм числа b».

Если основание равно е, то пишут и читают: «натуральный логарифм числа b».

Свойства логарифмов

1. Основное логарифмическое тождество: если a>0, a1, b>0, то .

Примеры: ; .

2. Логарифмы существуют только для положительных чисел, т.е. , a>0, a1, существует, если .

3. Если , то логарифмы чисел положительны, а логарифмы чисел отрицательны.

Примеры: ; .

4. Если , то логарифмы чисел отрицательны, а логарифмы чисел положительны.

Примеры: ; .

5. Равным положительным числам соответствуют равные логарифмы, т. е. если , то .

6. Если , то большему числу соответствует больший логарифм, т. е. если , то .

Пример: .

7. Если , то большему числу соответствует меньший логарифм, т. е. если , то .

Пример: .

8. Логарифм единицы по любому основанию а, a>0, a1, равен нулю, т. е. .

9. Логарифм основания равен 1, т. е. .

Теоремы о логарифме произведения, частного и степени

1. Логарифм произведения двух или нескольких положительных чисел равен сумме логарифмов сомножителей, т. е.

, где , , .

Пример: .

2. Логарифм частного положительных чисел равен разности делимого и делителя, т. е. , где , , , .

Пример: .

3. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания, т. е. , где , , .

Пример: .

Замечание. Если , а с – четное число, то , где , .

Пример: .

Формула перехода к новому основанию

Формула перехода от основания b к основанию а имеет вид: ,

где , , , , .

Пример: и т. д.

Если , то формула перехода примет вид , где , , , .

Пример: .

Если основание логарифма и число, которое стоит под знаком логарифма, возвести в одну и ту же степень, отличную от нуля, то значение логарифма не изменится, т. е.

, где , , ;

, где , , , .

Пример: ; .

Слова и словосочетания: логари́фм, десяти́чный логари́фм, натура́льный логари́фм; основно́е логарифми́ческое то́ждество; фо́рмула перехо́да к но́вому основа́нию.