Контрольные вопросы

1. Что называется корнем степени n из числа а?

2. Что называется извлечением корня?

3. Какой корень называется арифметическим?

4. Сколько значений имеет арифметический корень?

5. Какие числа называются: а) рациональными; б) иррациональными; в) действительными?

6. Напишите и прочитайте: а) чистую периодическую дробь; б) смешанную периодическую дробь.

7. Чему равен корень: а) произведения; б) дроби; в) степени; г) корня?

8. Назовите свойства арифметического корня.

9. Как вынести множитель из– под корня?

10. Как внести множитель под корень?

11. Как сократить показатель корня и показатель подкоренного выражения?

§ 2. Подобные корни

Подобные корни это корни, у которых одинаковые показатели и одинаковые подкоренные выражения. Подобные корни отличаются только коэффициентами.

Примеры подобных корней:

Чтобы узнать, подобны ли корни, необходимо привести их к простейшему виду (упростить). Для этого следует:

1. вынести (или внести) множители из– под корня;

2. освободить подкоренное выражение от дроби;

3. сократить показатель корня и показатель подкоренного выражения.

Пример: Доказать подобие корней: .

Упростим эти корни:

Мы видим, что корни подобны.

Действия с корнями

1. Сложение и вычитание корней

Чтобы сложить или вычесть корни, необходимо соединить их знаками плюс или минус и привести подобные корни.

Примеры: Сложить корни:

1)

2)

2. Умножение и деление корней

Чтобы умножить или разделить корни с одинаковыми показателями, необходимо умножить или разделить подкоренные выражения, а из произведения (частного) извлечь корень той же степени.

Примечание. Чтобы умножить или разделить корни с разными показателями, необходимо привести эти корни к общему показателю или заменить степенями с дробными показателями.

Например:

1)

2)

3)

4)

3. Возведение корней в степень

Чтобы возвести корень в степень, необходимо возвести в эту степень подкоренное выражение и извлечь корень той же степени:

.

Например: ; .

4. Извлечение корня из корня

Чтобы извлечь корень из корня, нужно извлечь корень, показатель которого равен произведению показателей корней:

.

Например: ; ;

; .

Слова и словосочетания: подо́бные ко́рни, подо́бие, просте́йший вид.

Упражнения

А

1. Докажите подобие корней:

1) и ; 2) ;

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) .

2. Выполните сложение и вычитание корней:

1) 2)

3) 4)

5)

6)

7) .

3. Выполните умножение:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7)

8) .

4. Выполните деление:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) .

5. Возведите в степень:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12)

13) 14) .

6. Извлеките корень из корня:

1) 2) 3) 4) 5)

6) 7) 8) 9) 10)

11) 12) 13) .

Б

1. Приведите корни к простейшему виду:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

9) .

2. Докажите подобие корней:

1) 2)

3)

4)

5)

6) .

3. Выполните сложение и вычитание корней:

1)

2) .

4. Выполните умножение и деление корней:

1)

2)

3)

4) .

5. Возведите в степень:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) .

6. Извлеките корень из корня:

1) 2) 3) .

Ответы: А. 2. 1) ; 3) ; 5) ; 7) .

3.1) ; 3) ; 5) ; 7) –28,5.

4.3) ; 5) ; 7) .

5.1) 6; 3) ; 5) ; 7) ; 9) ; 11)  ; 13)  .

6.1) ; 3) ; 5)  ; 7)  ; 9) ; 11) ; 13) .

Б.1. 1) ; 3) ; 5) ; 7) ; 9) a.

3. 1) .

4. 1) ; 3) .

5. 1) ;3) ; 5) ; 7) 2.

6. 1) ; 3) 1.