§ 6. Решение неравенств, которые содержат переменную под знаком модуля
При решении неравенств, которые содержат переменную под знаком модуля, используют определение модуля выражения
Поэтому неравенство, которое содержит переменную под знаком модуля, равносильно двум системам неравенств:
Решение данного неравенства с модулем – это объединение решений первой и второй систем.
Слова и словосочетания: содержа́ть переме́нную под зна́ком мо́дуля.
Упражнения с решениями
1. Решите
неравенство
.
Решение.
Это неравенство равносильно двум
системам неравенств:
Решим
эти неравенства:
Найдем объединение решений
первой и второй систем:
.
Ответ: .
2. Решите
неравенство:
.
Решение.
Пусть
,
тогда
.
Решим это неравенство:
.
Получим
Ответ:
Упражнения
1. Решите неравенства:
А. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Б. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5) 
.
В. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Ответы. 1. А.
1) 
;
2) 
;
3) 
.
4)
;
5) 
.
Б. 1) 
.
2) 
;
3)
;
4) 
;
5) 
.
В.
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
.
Контрольные вопросы
Чему равен модуль выражения
?Каким двум системам неравенств равносильно неравенство, которое содержит переменную под знаком модуля?
§ 7. Решение иррациональных неравенств
Иррациональное неравенство – это неравенство, которое содержит переменную под знаком корня.
Пример:
,
,
– иррациональные неравенства.
При решении иррациональных неравенств получают одну или несколько систем неравенств. Рассмотрим решение иррациональных неравенств, которые содержат квадратные корни.
Первый
случай.
.
Это неравенство имеет смысл,
если
.
Поскольку
,
то
.
Поэтому обе части неравенства можно
возвести в квадрат, т. е. освободиться
от иррациональности. Получим следующую
систему неравенств:
Решение этой системы есть решение данного неравенства.
Второй
случай.
.
Это неравенство имеет смысл,
если
.
Правая часть
может
иметь положительные значения, отрицательные
значения или может быть равна нулю.
Поэтому:
а) при
имеем
б) при
имеем
Получим следующую совокупность систем неравенств:
Решение иррационального неравенства есть объединение решений систем а) и б).
Слова и словосочетания: иррациона́льное нера́венство.
Упражнения с решениями
1. Решите
неравенство
.
Решение.
Это иррациональное неравенство
равносильно системе неравенств:
Решим эту систему:
Ответ:
.
2. Решите
неравенство
.
Решение. Это иррациональное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:
Решим эту совокупность:
.
Ответ:
.
Упражнения
1. Решите неравенства:
А. 1)
;
2)
;
3)
.
Б. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
В. 1)
;
2)
;
3)
,
2. Решите системы неравенств:
А. 1)
2)
Б. 1)
2)
Ответы.
1. А. 1)
;
2)
;
3)
.
Б. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
В. 1)
;
2)
;
3)
.
2. А. 1)
;
Б. 2)
нет решений.