Упражнения с решениями
1. Решите
неравенство
.
Решение.
Найдем корни многочлена
:
,
,
,
.
Разделим числовую ось на интервалы
,
,
,
,
и определим знак левой части неравенства
в
каждом интервале
(рис. 8.10).
Ответ:
.
2. Решите
неравенство
.
Решение.
Так как старший коэффициент числителя
меньше нуля, то умножим обе части
неравенства на – 1 и изменим знак
неравенства на противоположный:
.
Это строгое неравенство и оно равносильно
неравенству
.
Разложим многочлен на
множители, получим неравенство
.
Найдем корни многочлена
:
,
,
.
Разделим числовую ось на интервалы
,
,
,
и определим знак левой части неравенства
в
каждом интервале
(рис. 8.11).
Ответ:
.
3. Решите
неравенство
.
Решение.Трехчлен
при
всех х
R принимает положительные значения, так
как
.
Поэтому данное неравенство равносильно
неравенству
.
Это нестрогое неравенство,
поэтому сначала решим строгое неравенство
,
а потом уравнение
.
Найдем корни многочлена:
,
,
.
Разделим числовую ось на интервалы
,
,
,
и определим знак левой части неравенства
в
каждом интервале
(рис. 8.12). В точке
знак меняться не будет, так как
.
Решение
неравенства
.
Решим уравнение
:
.
Найдем объединение решений
строго неравенства и уравнения:
.
Ответ: .
4. Решите
неравенство
.
Решение. Это нестрогое
неравенство, поэтому сначала решим
строгое неравенство
,
а потом уравнение
.
Строгое неравенство
равносильно неравенству
.
Найдем корни многочлена:
,
,
,
,
.
Разделим числовую ось на интервалы и
определим знак левой части неравенства
в
каждом интервале
(рис. 8.13). В точках
и
знак меняться не будет, так как
и
.
Решение
неравенства
.
Решим
уравнение
.
Тогда
.
Найдем объединение решений
строго неравенства и уравнения:
.
Ответ: .
Упражнения
Решите неравенства:
-
А. 1)
;2)
;3)
;4)
;5)
;6)
.Б. 1)
;2)
;3)
;4)
;5)
;6)
;7)
;8)
;9)
.В. 1)
;2)
;3)
;4)
;5)
;6)
;
2. Найдите целые значения х, которые удовлетворяют системе неравенств:
1)
|
2)
|
Ответы:1.А.
1)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
Б. 1)
;
3)
;
4)
;
7)
;
9)
.
В. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
2. 1) 2, 3; 2) 2, 3.
Контрольные вопросы
Какой вид имеет рациональное неравенство?
Какой вид имеет дробно– рациональное неравенство?
Каким методом решают рациональные неравенства?
Какому неравенству равносильно дробно– рациональное неравенство ?
Какой порядок решения нестрогих неравенств ?