Упражнения с решениями
Докажите, что если
,
то
.
Доказательство. Найдем разность левой и правой частей этого (данного) неравенства.
,
поэтому
.
Выполните сложение неравенств 5 > – 8 и 8 > 5.
Решение.
Выполните умножение неравенств 14 > 6 и 2 > 1.
Решение.
Упражнения
Пусть . Сравните числа:
А. 1) а + х и
b + x; 2) а – 5 и b – 5; 3)
и
;
4)
и
.
Б. 1)
и
;
2)
и
.
2. Умножьте обе части неравенства на данное число:
А. 1) 3,25 < 4 на 3; 2) 3,4 > 2,3 на 4; 3) 2а > 1 на 0,5; 4) – 3 < 2 на 2; 5) – 3 < 2 на – 2; 6) – 13 < – 7,5 на – 3.
Б. 1)
на – 12; 2)
на – 6; 3) – 4а < – 3 на – 0,25;
4)
на
.
3. Докажите, что:
В. 1) если
,
то
;
2) если
,
то
;
3) если
,
то
;
4) если
,
то
.
4. Разделите обе части неравенства на данное число:
А. 1)
на 3; 2)
на – 5; 3)
на
;
4)
на
.
Б. 1)
на 3; 2)
на – 5; 3)
на
;
4)
на
.
В. 1)
на
;
2)
на
.
5. Выполните сложение неравенств:
А. 1)
и
;
2)
и
;
3)
и
.
Б. 1)
и
;
2)
и
.
В. 1)
и
;
2)
и
.
6. Выполните умножение неравенств:
А. 1)
и
;
2)
и
;
3)
и
.
Б. 1)
и
;
2)
и
.
В. 1)
и
;
2)
и
;
3)
и
;
4)
и
.
Контрольные вопросы
Что такое неравенство?
Что такое строгое неравенство?
Что такое нестрогое неравенство?
Что такое неравенства одного знака?
Что такое неравенства противоположного знака?
Что такое числовые неравенства?
Назовите свойства числовых неравенств.
Какие действия можно выполнять над числовыми неравенствами?
§ 2. Доказательство неравенств
Доказать неравенство это значит показать, что оно верное при определенных значениях переменных, которые это неравенство содержит.
При доказательстве неравенств используют несколько способов.
Способ I. Использование определения понятий «больше» и «меньше» (т.е. находят разность между левой и правой частями неравенств).
Пример
1. Докажите, что
,
если
,
.
Доказательство.
Найдем разность между правой и левой
частями неравенства:
.
Следовательно, .
Способ II. Использование известных неравенств.
Пример
2. Докажите, что
,
если
,
.
Доказательство.
Так как числа
и
положительны, то
(пример 1), или
.
Способ III. Использование очевидных (явных) неравенств.
Пример
3. Докажите, что
,
если a, b, с
целые положительные числа.
Доказательство.
Так как а
N, b
N, с
N, то неравенства
,
,
очевидны. Сложим их почленно и получим
.
Слова и словосочетания: доказа́тельство нера́венств, сле́довательно, очеви́дные нера́венства, очеви́дный = я́вный = легко́ ви́димый.
Упражнения с решениями
1. Докажите
неравенство
.
Доказательство. Найдем разность между правой и левой частями неравенства:
.
Выражение
,
так как сумма неотрицательных чисел
есть число неотрицательное.
Следовательно, .
2. Докажите
неравенство:
,
если а, b, с
неотрицательные числа.
Доказательство.
Используем известные неравенства:
,
,
.
Сложим их:
.
Сократим обе части на 2 и получим:
.